前瞻法和回溯法准备金

一张保单每年末要提多少准备金？纯保费准备金、毛保费准备金、费用准备金各是多少？回溯法和前瞻法一样吗？

SOA FAMSOA ALTAMIFoA CM1

公式

\displaystyle {}_tV=\mathrm{EPV}_t(\text{给付})+\mathrm{EPV}_t(\text{费用})-\mathrm{EPV}_t(\text{保费})

\displaystyle ({}_tV+G_t-e_t)(1+i)=q_{x+t}(b_{t+1}+E_{t+1})+p_{x+t}\,{}_{t+1}V

\displaystyle {}_tV^{e}={}_tV^{g}-{}_tV^{n}

\displaystyle {}_tV_x=1-\frac{\ddot a_{x+t}}{\ddot a_x}

\displaystyle \text{危险保额}=b_{t+1}+E_{t+1}-{}_{t+1}V

\displaystyle {}_tV^{retro}=\frac{(1+i)^t}{{}_tp_x}\Big[G\ddot a_{x:\overline{t}|}-S A^1_{x:\overline{t}|}-\text{费用}\Big]

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 4 个
参数: 19 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

产品

保险期间 n年

终身寿险不用

1 年80 年

其余 10 个参数

缴费年数 h年

0 表示全期缴费：终身寿险就是终身缴费

0 年80 年

保额 S元

1 元10,000 万元

毛保费

按等价原理求毛保费输入的毛保费

重点看第几年末年

0 年80 年

首年的固定费用元

0 元10 万元

首年费用占首年保费的比例

01.5

首年费用按保额元/千元

每千元保额多少元

0 元/千元50 元/千元

续年每年的固定费用元

0 元1 万元

续年费用占保费的比例

00.5

每次给付的理赔费用元

0 元10 万元

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 353 毫秒 · 11/14 22:23 运行

年缴毛保费 G: 4,363.27元
年缴纯保费 P: 3,943.5元
第 10 年末毛保费准备金: 4.247 万元
第 10 年末纯保费准备金: 4.373 万元
第 10 年末费用准备金: -1,258.17元
第 10 年末回溯法准备金: 4.247 万元
第 11 年的危险保额: 5.254 万元

每年末的准备金

毛保费准备金
纯保费准备金
费用准备金

纵轴：元

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。
Fackler 递推的最大残差 1.5e-11（前瞻法直接求和的结果代入递推式）。

各年末的准备金reserves21 行 · 10 列

结果表各年末的准备金
年末 t	年龄	毛保费准备金（前瞻）	递推	回溯法	纯保费准备金	费用准备金	下一年的危险保额	递推残差	S(1 − ä_x+t/ä_x)
0	40	2.68×10⁻⁸	2.68×10⁻⁸	0	8.88×10⁻⁹	1.79×10⁻⁸	98,392.09	-2.73×10⁻¹²	0
1	41	1,707.91	1,707.91	1,707.91	3,926.61	-2,218.7	94,276.17	2.73×10⁻¹²	3,926.61
2	42	5,823.83	5,823.83	5,823.83	7,945.54	-2,121.71	90,063.5	1.82×10⁻¹²	7,945.54
3	43	10,036.5	10,036.5	10,036.5	12,058.93	-2,022.43	85,751.71	3.64×10⁻¹²	12,058.93
4	44	14,348.29	14,348.29	14,348.29	16,269.11	-1,920.82	81,338.26	3.64×10⁻¹²	16,269.11
5	45	18,761.74	18,761.74	18,761.74	20,578.55	-1,816.81	76,820.23	0	20,578.55
6	46	23,279.77	23,279.77	23,279.77	24,990.11	-1,710.34	72,194.46	7.28×10⁻¹²	24,990.11
7	47	27,905.54	27,905.54	27,905.54	29,506.88	-1,601.33	67,457.32	-7.28×10⁻¹²	29,506.88
8	48	32,642.68	32,642.68	32,642.68	34,132.38	-1,489.7	62,604.79	0	34,132.38
9	49	37,495.21	37,495.21	37,495.21	38,870.55	-1,375.34	57,632.56	-7.28×10⁻¹²	38,870.55
10	50	42,467.44	42,467.44	42,467.44	43,725.6	-1,258.17	52,535.89	-7.28×10⁻¹²	43,725.6
11	51	47,564.11	47,564.11	47,564.11	48,702.17	-1,138.06	47,309.68	-7.28×10⁻¹²	48,702.17
12	52	52,790.32	52,790.32	52,790.32	53,805.22	-1,014.9	41,948.45	-1.46×10⁻¹¹	53,805.22
13	53	58,151.55	58,151.55	58,151.55	59,040.11	-888.555	36,446.13	1.46×10⁻¹¹	59,040.11
14	54	63,653.87	63,653.87	63,653.87	64,412.76	-758.888	30,795.85	1.46×10⁻¹¹	64,412.76
15	55	69,304.15	69,304.15	69,304.15	69,929.88	-625.734	24,989.69	0	69,929.88
16	56	75,110.31	75,110.31	75,110.31	75,599.22	-488.906	19,018.44	-1.46×10⁻¹¹	75,599.22
17	57	81,081.56	81,081.56	81,081.56	81,429.75	-348.188	12,871.45	1.46×10⁻¹¹	81,429.75
18	58	87,228.55	87,228.55	87,228.55	87,431.87	-203.328	6,536.57	0	87,431.87
19	59	93,563.43	93,563.43	93,563.43	93,617.47	-54.0405	0	0	93,617.47
20	60	100,100	100,100	100,100	100,000	100	—	—	100,000

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：终身寿险纯保费准备金 ₁₀V_40 = 1 − ä_50/ä_40，₂₀V_40 = 1 − ä_60/ä_40

参数年龄 x 40 岁每次给付的理赔费用 0 元重点看第几年末 10 年首年的固定费用 0 元首年费用占首年保费的比例 0首年费用按保额 0 元/千元固定利率 i 5%死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）缴费年数 h 0 年产品终身寿险续年每年的固定费用 0 元续年费用占保费的比例 0保额 S 1 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
纯保费准备金表 reserves · 第 11 行	0.077652808	0.077648745
S(1 − ä_x+t/ä_x)表 reserves · 第 11 行	0.077652808	0.077648745
纯保费准备金表 reserves · 第 21 行	0.19253107	0.19253056

允许误差 0.00001

第 2 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：两全保险 ₁₀V_{40:20} = 1 − ä_{50:10}/ä_{40:20}，ä = (1 − A)/d，A_{x:n} = A_x − nE_x·A_{x+n} + nE_x（20E_40 = 0.36663，10E_50 = 0.60182）
参数年龄 x 40 岁每次给付的理赔费用 0 元重点看第几年末 10 年首年的固定费用 0 元首年费用占首年保费的比例 0首年费用按保额 0 元/千元固定利率 i 5%死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）保险期间 n 20 年缴费年数 h 20 年产品两全保险续年每年的固定费用 0 元续年费用占保费的比例 0保额 S 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
第 10 年末纯保费准备金net 0.38008018 0.38007321
允许误差 0.00003
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力没有记忆，终身寿险的纯保费准备金每年都是 0
参数年龄 x 0 岁每次给付的理赔费用 0 元重点看第几年末 10 年首年的固定费用 0 元首年费用占首年保费的比例 0首年费用按保额 0 元/千元固定利率 i 5%mu 0.04缴费年数 h 0 年产品终身寿险续年每年的固定费用 0 元续年费用占保费的比例 0保额 S 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
第 10 年末纯保费准备金net 0 4.25972e-17
纯保费准备金表 reserves · 第 31 行 0 5.22318e-17
允许误差 1×10⁻⁹
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行

项	标准答案	平台算出
第 10 年末纯保费准备金net	0.38008018	0.38007321

项	标准答案	平台算出
第 10 年末纯保费准备金net	0	4.25972e-17
纯保费准备金表 reserves · 第 31 行	0	5.22318e-17

第 4 条

平台算出的数对得上

手算：q = (0.1, 0.2)，i = 0，2 年两全保额 1000，首年费用 50、第 2 年费用 10。G = (1000 + 50 + 0.9×10)/1.9 = 557.37，₁V^g = 1000 + 10 − G = 452.63，P = 1000/1.9，₁V^n = 1000 − P = 473.68

参数年龄 x 0 岁每次给付的理赔费用 0 元重点看第几年末 1 年首年的固定费用 50 元首年费用占首年保费的比例 0首年费用按保额 0 元/千元固定利率 i 0%保险期间 n 2 年缴费年数 h 2 年产品两全保险qx 3 个数续年每年的固定费用 10 元续年费用占保费的比例 0保额 S 1,000 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
第 10 年末费用准备金expense	-21.052632	-21.052632
第 10 年末毛保费准备金gross	452.63158	452.63158
年缴毛保费 Ggross_premium	557.36842	557.36842
第 10 年末纯保费准备金net	473.68421	473.68421

允许误差 1×10⁻⁷

题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：19 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 25 行353 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.life_reserves import policy_values34result = policy_values.policy_values(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=40,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    frac="udd",11    product="endowment",12    n=20,13    pay_years=0,14    sum_insured=100000,15    premium_mode="equivalence",16    premium_input=5000,17    duration=10,18    init_fixed=300,19    init_prem=0.5,20    init_sa=1,21    ren_fixed=50,22    ren_prem=0.05,23    claim=100,24)25print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 7 章
IFoA CM1 Core ReadingReserves

覆盖的考试公式

LPR-005前瞻法准备金FAMCM1
LPR-006准备金递推（Fackler）FAMALTAMCM1
LPR-010回溯法准备金与累积CM1
LPR-011净保费准备金的简化公式CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按年列出前瞻法准备金（直接求和）、用 Fackler 递推验证、回溯法准备金、纯保费准备金、费用准备金（毛保费准备金 − 纯保费准备金）和危险保额；终身寿险和两全保险还给出 1 − ä_{x+t}/ä_x 的简化公式。

说明和限制

准备金在第 t 年末（给付之后、下一次缴费之前）。保费和费用按 PREMIUM 定在签单时，准备金和定价用同一个死亡率和利率。
纯保费准备金用同一张保单不含费用的纯保费。费用准备金通常是负数：首年费用高，后面的保费里有偿还首年费用的部分。
回溯法从 0V = 0 往后累积；保费按等价原理定时，它和前瞻法相等。输入的保费不满足等价原理时两者不同。
这里的准备金是精算的保单价值，不是监管规定的法定准备金。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保费与准备金，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。