损失随机变量的均值、方差和亏损概率 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

产品

终身寿险定期寿险两全保险

缴费年数 h年

0 表示全期缴费：终身寿险就是终身缴费

0 年80 年

其余 6 个参数

给付和缴费

保额 b元

1 元10,000 万元

保费

每年缴费时的费用 e元

0 元10 万元

理赔费用 E元

0 元100 万元

看第几年末的未来损失 k年

0 是签单时

0 年60 年

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 446 毫秒 · 11/14 22:25 运行

年缴保费 G: 1,523.64元
签单时损失的均值: 2.98×10⁻¹²元
损失的方差: 4.007 亿元²
损失的标准差: 2.002 万元
亏损的概率 P(L > 0): 35.88%
按闭式公式的方差: 4.007 亿元²

死亡年份和损失：早死亏，晚死赚

纵轴：元

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。

各年死亡的概率和损失by_year60 行 · 3 列

结果表各年死亡的概率和损失
第 0 年末以后第几年死亡	概率	损失（元）
1	0.001202	96,037.33
2	0.00131642	92,171.32
3	0.00144435	88,399.59
4	0.00158669	84,719.86
5	0.00174526	81,129.88
6	0.0019189	77,627.46
7	0.00210938	74,210.47
8	0.00231548	70,876.82
9	0.00253692	67,624.47
10	0.00277635	64,451.45
11	0.00303438	61,355.82
12	0.00331547	58,335.7
13	0.0036249	55,389.23
14	0.00396878	52,514.63
15	0.004351	49,710.15
16	0.0047743	46,974.06
17	0.00523823	44,304.71
18	0.00573931	41,700.47
19	0.00627483	39,159.74
20	0.00683814	36,680.98
21	0.00742628	34,262.68
22	0.00804077	31,903.36
23	0.0086846	29,601.59
24	0.00936847	27,355.96
25	0.0101039	25,165.1
26	0.0109075	23,027.67
27	0.0117957	20,942.38
28	0.012787	18,907.95
29	0.0138961	16,923.14
30	0.01514	14,986.74
31	0.0165305	13,097.56
32	0.0180777	11,254.47
33	0.0197885	9,456.33
34	0.0216639	7,702.04
35	0.0237026	5,990.55
36	0.0258934	4,320.79
37	0.0282182	2,691.77
38	0.0306451	1,102.47
39	0.0331298	-448.061
40	0.0356115	-1,960.78
41	0.0380102	-3,436.59
42	0.040441	-4,876.42
43	0.0415802	-6,281.12
44	0.0422888	-7,651.57
45	0.0424956	-8,988.58
46	0.0421432	-10,292.99
47	0.0411918	-11,565.59
48	0.039628	-12,807.14
49	0.0374705	-14,018.41
50	0.034771	-15,200.14
51	0.0316173	-16,353.05
52	0.0281277	-17,477.84
53	0.0244436	-18,575.19
54	0.0207175	-19,645.78
55	0.0171	-20,690.26
56	0.0137251	-21,709.26
57	0.0106981	-22,703.41
58	0.00808798	-23,673.31
59	0.00592451	-24,619.55
60	0.00420108	-25,542.72

损失的分位数quantiles7 行 · 2 列

结果表损失的分位数
分位	损失（元）
0.05	-21,709.26
0.25	-12,807.14
0.5	-4,876.42
0.75	7,702.04
0.9	25,165.1
0.95	41,700.47
0.99	74,210.47

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力 μ = 0.04、δ = 0.06，全连续终身寿险 P̄ = μ，Var(L) = (1 + P̄/δ)²(²Ā − Ā²) = (5/3)² × 0.09 = 0.25；L > 0 ⇔ v^T > 0.4，概率 1 − 0.4^{μ/δ}
参数年龄 x 0 岁固定利率 i 6.18%mu 0.04产品终身寿险保额 b 1 元给付和缴费立即给付、连续缴费（全连续）其余用默认值
项标准答案平台算出
亏损的概率 P(L > 0)p_loss 0.45711648 0.45711648
年缴保费 Gpremium 0.04 0.04
损失的方差var 0.25 0.25
允许误差 0.000002
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 2 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：按纯保费 P_40，Var(₀L) = (²A_40 − A_40²)/(1 − A_40)²（因为 1 + P/d = 1/(dä) = 1/(1 − A)）
参数年龄 x 40 岁固定利率 i 5%死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）产品终身寿险保额 b 1 元给付和缴费年末给付、年初缴费其余用默认值
项标准答案平台算出
签单时损失的均值mean 0 3.90313e-18
损失的方差var 0.011409801 0.011411387
允许误差 0.00002
第 3 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：第 10 年末 E[L] = ₁₀V = 1 − ä_50/ä_40，Var = (²A_50 − A_50²)/(1 − A_40)²
参数年龄 x 40 岁看第几年末的未来损失 k 10 年固定利率 i 5%死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）产品终身寿险保额 b 1 元给付和缴费年末给付、年初缴费其余用默认值
项标准答案平台算出
签单时损失的均值mean 0.077652808 0.077648745
损失的方差var 0.01972948 0.019724491
允许误差 0.00003

项	标准答案	平台算出
亏损的概率 P(L > 0)p_loss	0.45711648	0.45711648
年缴保费 Gpremium	0.04	0.04
损失的方差var	0.25	0.25

项	标准答案	平台算出
签单时损失的均值mean	0	3.90313e-18
损失的方差var	0.011409801	0.011411387

项	标准答案	平台算出
签单时损失的均值mean	0.077652808	0.077648745
损失的方差var	0.01972948	0.019724491

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：17 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 23 行446 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.life_reserves import loss_rv34result = loss_rv.loss_rv(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=40,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    frac="udd",11    product="whole",12    n=20,13    pay_years=0,14    timing="annual",15    sum_insured=100000,16    premium_mode="equivalence",17    loading=0.2,18    premium_input=1000,19    prem_expense=0,20    settle_expense=0,21    duration=0,22)23print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks6.5–6.6 节、7.3 节

覆盖的考试公式

LPR-003损失随机变量的均值和方差FAMCM1
LPR-008损失随机变量的条件方差（准备金）FAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

损失 L = 给付和理赔费用的现值 − (保费 − 保费费用) 的现值。给出均值（第 k 年就是准备金）、方差（终身和两全有闭式公式）、亏损概率、分位数，和按死亡年份的损失。

说明和限制

保费在签单时按同一个死亡率和利率定下，之后不变；第 k 年末的未来损失按还有效（活着）的保单算。
均值直接从分布算；闭式的方差公式只对终身寿险和两全保险、全期缴费、固定利率成立（定期寿险的 Z 和 Ÿ 不是线性关系）。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保费与准备金，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一张保单签单时（或已经有效 k 年时）未来的损失是多少？方差多大？保险公司在这张保单上亏钱的概率多大？”