险位超赔：分出和自留 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

自留额 M元

每次赔款

0 元100,000,000 万元

层的限额 L元

0 表示不限

0 元100,000,000 万元

损失的通胀因子 k − 1

例如 0.05 表示涨 5%

-0.52

一年的赔款次数次

从 0 元起算

0 次100 万次

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：Pareto 分布 α = 2.2，θ = 200000

输出

用时 815 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

每次赔款的均值 E[kX]: 16.67 万元
每次赔款的自留期望: 13.9 万元
每次赔款的分出期望: 2.769 万元
赔款进入这一层的概率: 6.35%
再保险人赔到时的平均赔款: 43.57 万元
每次赔款分出部分的标准差: 15.56 万元
一年的分出期望（纯保费）: 110.7 万元
一年进入这一层的次数: 2.54162次
赔到时打穿层顶的概率: 8.05%

再保险人赔到时的赔款分布 g(w)

纵轴：密度

损失涨 10% 时，这一层的期望涨 18.3%。

通胀对层内损失的杠杆效应leverage5 行 · 3 列

结果表通胀对层内损失的杠杆效应
损失的通胀	层的期望（元）	层的增长
0	27,685.81	0
0.05	30,183.14	0.0902023
0.1	32,750	0.182916
0.2	38,076.8	0.375318
0.5	55,353.25	0.999336

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 5.1.6：Pareto(5, 3600)，E[X∧5000] = 741.5103/0.85 = 872.365，E[(X − 5000)₊] = 900 − 872.365 = 27.635
参数形状参数 α 5层的限额 L 0 元自留额 M 5,000 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 3,600 元其余用默认值
项标准答案平台算出
每次赔款的分出期望ceded 27.634941 27.634952
每次赔款的自留期望retained 872.36506 872.36505
允许误差 0.001
第 2 条
平台算出的数对得上
手算（IFoA CS2 的通胀公式）：Exp(1000)，k = 1.1，M = 2000，E[min(kX, M)] = kθ(1 − e^{−M/(kθ)}) = 921.47；指数分布无记忆，再保险人赔到时平均赔 kθ = 1100
参数损失的通胀因子 k − 1 0.1层的限额 L 0 元自留额 M 2,000 元单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
再保险人赔到时的平均赔款ceded_mean_excess 1,100 1,100
每次赔款的自留期望retained 921.44733 921.44733
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：Pareto(3, 1000) 的 E[X∧u] = 500(1 − (1000/(u+1000))²)，1000 xs 1000 的层 = E[X∧2000] − E[X∧1000] = 500(1/4 − 1/9) = 69.44；P(X > 1000) = (1/2)³ = 1/8
参数形状参数 α 3一年的赔款次数 10 次层的限额 L 1,000 元自留额 M 1,000 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
一年的分出期望（纯保费）annual_ceded 694.44444 694.44444
每次赔款的分出期望ceded 69.444444 69.444444
赔款进入这一层的概率prob_hit 0.125 0.125
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
每次赔款的分出期望ceded	27.634941	27.634952
每次赔款的自留期望retained	872.36506	872.36505

项	标准答案	平台算出
再保险人赔到时的平均赔款ceded_mean_excess	1,100	1,100
每次赔款的自留期望retained	921.44733	921.44733

项	标准答案	平台算出
一年的分出期望（纯保费）annual_ceded	694.44444	694.44444
每次赔款的分出期望ceded	69.444444	69.444444
赔款进入这一层的概率prob_hit	0.125	0.125

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行815 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import xl_per_risk34result = xl_per_risk.xl_per_risk(5    sev_dist="pareto",6    theta=200000,7    alpha=2.2,8    gamma=1,9    retention=500000,10    limit=1500000,11    inflation=0,12    frequency=40,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.1.4 Reinsurance；13.4.2 Excess of Loss
IFoA CS2 Core ReadingExcess of loss reinsurance；inflation

覆盖的考试公式

REI-003超额赔款再保险：自留与分出期望FAMCS2SP8
REI-004超额赔款的通胀影响CS2
REI-005再保险人赔付的条件分布CS2
REI-008保单免赔（policy excess）CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

自留 E[(kX)∧M] + 超出层顶的部分，分出 E[(kX)∧(M+L)] − E[(kX)∧M]。再保险人赔款在“赔到”时的分布 g(w) = f(w + M)/S(M)。列出不同通胀下这一层的增长（杠杆效应）。保单免赔（policy excess）是同样的算法。

说明和限制

通胀时自留额和限额不变（没有指数化条款），所以层的赔款比损失涨得快：低于自留额的损失被推进层里。
保单免赔（policy excess）L：投保人自担 X∧L，保险公司赔 (X − L)₊，和自留额 M 的算法相同。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每次赔款超过自留额 M 的部分由再保险人赔（最多 L），分出公司和再保险人各赔多少？损失通胀以后这一层涨得比损失快多少？”