自留额处删失的赔款数据的极大似然估计 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

单次损失分布

低于自留额的赔款金额 xᵢ14 个数 · 元

最小 4.2 万最大 90.5 万均值 40.07 万

2–2,000 个数，每个在 0.0001–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

删失点：自留额 M元

0.0001 元1,000,000,000 万元

超过自留额的赔款笔数 m

010 万

报告起点 d元

只报告超过 d 的赔款，0 表示没有

0 元1,000,000,000 万元

固定尺度参数 θ元

0 表示一起估计

0 元1,000,000,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

14 笔低于自留额的赔款，4 笔超过 1,000,000

输出

用时 1.3 秒 · 11/14 22:23 运行

α 的估计: 299,500 亿
θ 的估计: 205,600,000,000 亿元
α 的标准误: 205,200,000 亿
θ 的标准误: 140,800,000,000,000 亿元
最大的对数似然: -202.15
拟合分布的均值: 68.48 万元
拟合的 P(X > M): 0.232977

经验生存函数和拟合的生存函数

经验（超过 M 的计入）
拟合

纵轴：P(X > x)

对 (ln α, ln θ) 数值求最大值（Nelder-Mead，3 个起点取最好）

参数估计和标准误fit2 行 · 4 列

结果表参数估计和标准误
参数	估计值	标准误
α（形状）	29,952,497,350,000	2.0515e+16	估计
θ（尺度）	2.0560e+19	1.4082e+22	估计

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（IFoA CS2 的删失似然）：ln L = −n ln θ − (Σxᵢ + mM)/θ，θ̂ = (100 + 300 + 500 + 800 + 2 × 1000)/4 = 925
参数超过自留额的赔款笔数 m 2单次损失分布指数分布 Exp(θ)固定尺度参数 θ 0 元低于自留额的赔款金额 xᵢ 4 个数删失点：自留额 M 1,000 元报告起点 d 0 元
项标准答案平台算出
最大的对数似然loglik -31.319175 -31.319175
θ 的估计theta 925 925
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：θ = 500 已知时 ∂ln L/∂α = n/α − Σ ln((θ + xᵢ)/θ) − m ln((θ + M)/θ) = 0，α̂ = 4/[ln 1.2 + ln 1.6 + ln 2 + ln 2.6 + 2 ln 3] = 0.8417
参数超过自留额的赔款笔数 m 2单次损失分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）固定尺度参数 θ 500 元低于自留额的赔款金额 xᵢ 4 个数删失点：自留额 M 1,000 元报告起点 d 0 元
项标准答案平台算出
α 的估计alpha 0.88924293 0.88924293
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
独立核对：scipy 1.17 的 stats.lognorm.fit(stats.CensoredData(uncensored=x, right=[M]×4), floc=0)，scipy 自带的删失数据极大似然，得到 σ̂ = 1.11893、e^μ̂ = 449,846.5；对数似然由 scipy 的 logpdf、logsf 直接加总 = −201.73837
参数超过自留额的赔款笔数 m 4单次损失分布对数正态分布 LN(μ = ln θ, σ = α)固定尺度参数 θ 0 元低于自留额的赔款金额 xᵢ 14 个数删失点：自留额 M 100 万元报告起点 d 0 元
项标准答案平台算出
α 的估计alpha 1.1189313 1.1189312
最大的对数似然loglik -201.73837 -201.73837
θ 的估计theta 449,846.45 449,846.45
说明：两种做法是不同的优化器，结果只在优化精度内一致，放到相对 2e-5
允许误差 0 + 0.00002×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
独立核对：scipy 1.17 的 stats.weibull_min.fit(stats.CensoredData(uncensored=x, right=[M]×4), floc=0)，得到 τ̂ = 1.15867、θ̂ = 686,617.3
参数超过自留额的赔款笔数 m 4单次损失分布威布尔分布 Weibull(τ = α, θ)固定尺度参数 θ 0 元低于自留额的赔款金额 xᵢ 14 个数删失点：自留额 M 100 万元报告起点 d 0 元
项标准答案平台算出
α 的估计alpha 1.1586717 1.1586717
θ 的估计theta 686,617.28 686,617.26
允许误差 0 + 0.00002×|答案|

项	标准答案	平台算出
最大的对数似然loglik	-31.319175	-31.319175
θ 的估计theta	925	925

项	标准答案	平台算出
α 的估计alpha	0.88924293	0.88924293

项	标准答案	平台算出
α 的估计alpha	1.1189313	1.1189312
最大的对数似然loglik	-201.73837	-201.73837
θ 的估计theta	449,846.45	449,846.45

项	标准答案	平台算出
α 的估计alpha	1.1586717	1.1586717
θ 的估计theta	686,617.28	686,617.26

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行1.3 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import censored_mle34result = censored_mle.censored_mle(5    dist="pareto",6    losses=[42000, 95000, 128000, 160000, 210000, 260000, 315000, 390000, 455000, 520000, 610000, 700000, 820000, 905000],7    retention=1000000,8    censored=4,9    truncation=0,10    fix_theta=0,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models删失和截断数据的极大似然估计
IFoA CS2 Core ReadingMaximum likelihood estimation with censored claims under excess of loss reinsurance

覆盖的考试公式

REI-006基于删失数据的 XL 似然CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

低于自留额 M 的 n 笔赔款用密度 f(xᵢ)，超过 M 的 m 笔只用 1 − F(M)。可以另加报告起点 d（只报告超过 d 的赔款）。指数分布、θ 已知的 Pareto 有闭式解，其他用数值方法。给出估计值、标准误、对数似然和拟合的生存函数。

说明和限制

超过自留额的赔款只知道“超过 M”，它们贡献 1 − F(M)，不能当成金额等于 M 的赔款。
报告起点 d 是截断：低于 d 的赔款根本看不到，每一笔都要除以 1 − F(d)。
标准误来自观测信息矩阵的逆（数值二阶差分），样本小时只是粗略的参考。

数据

按输入的赔款计算。默认是示例数字，不是真实数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“分出公司只告诉我们低于自留额的赔款金额，超过自留额的只知道有几笔，怎样估计单次损失分布？”