意外险超赔的 ILF 定价 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

ILF 的来源

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

ILF 表的因子6 个数

最小 1最大 2.1均值 1.59

2–30 个数，每个在 0.001–1,000 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

基本限额 B元

1 元100,000,000 万元

每组保单的限额 I4 个数 · 元

最小 50 万最大 500 万均值 212.5 万

1–30 个数，每个在 1–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每组保单的起赔点 E1 个数 · 元

0 表示从 0 元起赔；和限额一一对应，可以只填一个

最小 0最大 0均值 0

1–30 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

其余 4 个参数

每组保单的保费4 个数 · 元

最小 150 万最大 600 万均值 387.5 万

1–30 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

预期赔付率

0.013

再保险层的自留额 D元

保单赔款

0 元100,000,000 万元

再保险层的限额 L元

1 元100,000,000 万元

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的保单组计算；ILF 按 Pareto 分布 α = 1.8，θ = 50000 计算，基本限额 100,000

输出

用时 816 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

这一层的期望损失: 50.33 万元
占保费的比例（层的纯费率）: 3.25%
从 0 元起算的期望损失: 1,008 万元

增额限额因子

纵轴：ILF

各限额组分到这一层的损失groups4 行 · 6 列

结果表各限额组分到这一层的损失
保单限额 I	保费	期望损失	分到这一层的比例	层的期望损失
500,000	6,000,000	3,900,000	0	0
1,000,000	5,000,000	3,250,000	0.0650008	211,252.59
2,000,000	3,000,000	1,950,000	0.10076	196,481.15
5,000,000	1,500,000	975,000	0.0980378	95,586.82

增额限额因子（ILF）ilf5 行 · 2 列

结果表增额限额因子（ILF）
限额（元）	ILF
100,000	1
500,000	1.45898
1,000,000	1.5604
2,000,000	1.62245
5,000,000	1.6675

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（闭式公式）：Pareto α = 2、θ = 1000，LEV(u) = 1000u/(u+1000)。保单限额 5000，层 3000 xs 2000：比例 = (LEV(5000) − LEV(2000))/LEV(5000) = (833.33 − 666.67)/833.33 = 0.2，层损失 = 100 × 0.6 × 0.2 = 12
参数形状参数 α 2每组保单的起赔点 E 1 个数基本限额 B 1,000 元预期赔付率 0.6ILF 的来源按单次损失分布算 ILF再保险层的限额 L 3,000 元每组保单的限额 I 1 个数每组保单的保费 1 个数再保险层的自留额 D 2,000 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
这一层的期望损失layer_loss 12 12
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行 0.2 0.2
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
手算（IFoA SP8 的 ILF 分层公式）：ILF(100 万) = 1.7，ILF(50 万) = 1.5，50 万 xs 50 万的比例 = (1.7 − 1.5)/1.7 = 0.1176
参数每组保单的起赔点 E 1 个数基本限额 B 10 万元预期赔付率 1ILF 表的限额 4 个数ILF 的来源输入 ILF 表（限额之间线性插值）ILF 表的因子 4 个数再保险层的限额 L 50 万元每组保单的限额 I 1 个数每组保单的保费 1 个数再保险层的自留额 D 50 万元其余用默认值
项标准答案平台算出
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行 0.11764706 0.11764706
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
手算（REI-011 的公式）：保单 3000 xs 1000，再保险层（按保单赔款）1000 xs 1000，即从 0 起算的 (2000, 3000]。比例 = (LEV(3000) − LEV(2000))/(LEV(4000) − LEV(1000)) = (750 − 666.67)/(800 − 500) = 0.2778
参数形状参数 α 2每组保单的起赔点 E 1 个数基本限额 B 1,000 元预期赔付率 1ILF 的来源按单次损失分布算 ILF再保险层的限额 L 1,000 元每组保单的限额 I 1 个数每组保单的保费 1 个数再保险层的自留额 D 1,000 元单次损失的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行 0.27777778 0.27777778
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	平台算出
这一层的期望损失layer_loss	12	12
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行	0.2	0.2

项	标准答案	平台算出
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行	0.11764706	0.11764706

项	标准答案	平台算出
分到这一层的比例表 groups · 第 1 行	0.27777778	0.27777778

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行816 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import ilf_casualty34result = ilf_casualty.ilf_casualty(5    ilf_source="model",6    sev_dist="pareto",7    theta=50000,8    alpha=1.8,9    gamma=1,10    ilf_limits=[100000, 250000, 500000, 1000000, 2000000, 5000000],11    ilf_values=[1, 1.3, 1.52, 1.72, 1.9, 2.1],12    basic_limit=100000,13    policy_limits=[500000, 1000000, 2000000, 5000000],14    attachments=[0],15    premiums=[6000000, 5000000, 3000000, 1500000],16    elr=0.65,17    retention=500000,18    limit=1500000,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA SP8 Core ReadingExposure rating of casualty excess of loss using ILFs
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models增额限额因子

覆盖的考试公式

REI-010增额限额因子定价意外险 XLCAS5SP8
REI-011非比例再保险暴露定价的分层比例SP8
COV-006增额限额因子与免赔额相对数ASTAMCAS5SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

每组保单的从 0 起赔的损失 = 保费 × 预期赔付率；按 ILF 把它分到再保险层：比例 = [ILF(min(I, D+L) + E) − ILF(min(I, D) + E)] / [ILF(I + E) − ILF(E)]，I 是保单限额，E 是保单的起赔点。

说明和限制

ILF 已经含了基本限额的损失，所以每组保单的损失 = 保费 × 预期赔付率（保费按保单限额收）。
ILF 不含分配的理赔费用（ALAE）和风险附加；实务中常把 ALAE 按比例加到层里。
保单有起赔点 E（超赔责任险、伞式保单）时，保单赔 min((X − E)₊, I)，再保险层按保单的赔款计算。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“责任险保单的限额各不相同，怎么用增额限额因子算出一层超赔分到的损失？”