财产险超赔的暴露定价（MBBEFD 曲线） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

暴露曲线

Swiss Re 曲线的 c

1.5、2、3、4 是 Y1–Y4，越大越接近全损少的工业险

010

每个保额段的代表保额6 个数 · 元

或 PML

最小 50 万最大 3,500 万均值 1,050 万

1–30 个数，每个在 1–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个保额段的保费6 个数 · 元

最小 80 万最大 400 万均值 230 万

1–30 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

预期赔付率

从 0 元起算的损失 ÷ 保费

0.013

超赔层的自留额 D元

每个风险

0 元100,000,000 万元

超赔层的限额 L元

1 元100,000,000 万元

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的风险概况计算，6 个保额段

输出

用时 174 毫秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

这一层的期望损失: 115 万元
占分出保费的比例（层的纯费率）: 8.34%
从 0 元起算的期望损失: 759 万元
这一层占全部损失的比例: 15.16%
损失程度的均值 E[X] = 1/G′(0): 0.0871796
全损的概率 1/g: 3.27%
b: 3.6693
g: 30.5694

暴露曲线 G(x)

本次曲线（b = 3.669，g = 30.57）
Swiss Re Y1（c = 1.5）
Swiss Re Y2（c = 2）
Swiss Re Y4（c = 4）
Swiss Re Lloyd's 工业险（c = 5）

纵轴：G(x)：占期望损失的比例

曲线：b = 3.6693，g = 30.5694（Swiss Re c = 3）。

各保额档分到这一层的损失bands6 行 · 7 列

结果表各保额档分到这一层的损失
代表保额（元）	保费（元）	期望损失（元）	D/M	(D+L)/M	分到这一层的比例	层的期望损失（元）
500,000	4,000,000	2,200,000	1	1	0	0
1,500,000	3,000,000	1,650,000	1	1	0	0
3,500,000	2,500,000	1,375,000	0.571429	1	0.184777	254,068.7
7,500,000	2,000,000	1,100,000	0.266667	1	0.384638	423,102.16
15,000,000	1,500,000	825,000	0.133333	0.666667	0.399105	329,261.77
35,000,000	800,000	440,000	0.0571429	0.285714	0.327215	143,974.4

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
独立核对：按 Bernegger (1997) 的分布函数 F(x) = 1 − (a+1)b^x/(a+b^x) 数值积分 G(x) = ∫₀ˣS/∫₀¹S。c = 3 时 b = e^{1.3}、g = e^{3.42}，G(0.5) − G(0.2) = 0.227573，层损失 = 1,000,000 × 0.6 × 0.227573；E[X] = ∫₀¹S = 0.08718，全损概率 1/g = 0.03271
参数Swiss Re 曲线的 c 3暴露曲线 Swiss Re 曲线（按 c 取 b、g）预期赔付率 0.6超赔层的限额 L 300 万元每个保额段的保费 1 个数超赔层的自留额 D 200 万元每个保额段的代表保额 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
这一层的期望损失layer_loss 136,543.82 136,543.82
损失程度的均值 E[X] = 1/G′(0)mean_degree 0.087179568 0.087179568
全损的概率 1/gp_total 0.032712435 0.032712435
说明：期望值用数值积分（scipy quad，相对精度 1e−13）独立算出，不用本方法的闭式 G
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
独立核对（同上，数值积分）：c = 2 时 G(0.1) = 0.266660，G(0.2) = 0.410961，G(0.5) = 0.682792。80 万 xs 20 万：保额 100 万的段是 (0.2, 1]，比例 1 − G(0.2)；保额 200 万的段是 (0.1, 0.5]，比例 G(0.5) − G(0.1)
参数Swiss Re 曲线的 c 2暴露曲线 Swiss Re 曲线（按 c 取 b、g）预期赔付率 1超赔层的限额 L 80 万元每个保额段的保费 2 个数超赔层的自留额 D 20 万元每个保额段的代表保额 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
分到这一层的比例表 bands · 第 1 行 0.58903908 0.58903908
分到这一层的比例表 bands · 第 2 行 0.41613131 0.41613132
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
手算（Bernegger 1997 的特例 b = 1）：G(x) = ln(1 + (g − 1)x)/ln g，g = 10、x = 0.5 时 G = ln 5.5/ln 10 = 0.74036
参数MBBEFD 的 b 1暴露曲线 MBBEFD（直接给 b、g）预期赔付率 1MBBEFD 的 g 10超赔层的限额 L 500 元每个保额段的保费 1 个数超赔层的自留额 D 0 元每个保额段的代表保额 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
这一层的期望损失layer_loss 0.74036269 0.74036269
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
这一层的期望损失layer_loss	136,543.82	136,543.82
损失程度的均值 E[X] = 1/G′(0)mean_degree	0.087179568	0.087179568
全损的概率 1/gp_total	0.032712435	0.032712435

项	标准答案	平台算出
分到这一层的比例表 bands · 第 1 行	0.58903908	0.58903908
分到这一层的比例表 bands · 第 2 行	0.41613131	0.41613132

项	标准答案	平台算出
这一层的期望损失layer_loss	0.74036269	0.74036269

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行174 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import exposure_property34result = exposure_property.exposure_property(5    curve="swissre",6    c=3,7    b=3.669,8    g=30.57,9    sums_insured=[500000, 1500000, 3500000, 7500000, 15000000, 35000000],10    premiums=[4000000, 3000000, 2500000, 2000000, 1500000, 800000],11    elr=0.55,12    retention=2000000,13    limit=8000000,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Bernegger, S. (1997). The Swiss Re Exposure Curves and the MBBEFD Distribution Class. ASTIN Bulletin 27(1):99–111第 2–4 节
IFoA SP8 Core ReadingExposure rating of property excess of loss

覆盖的考试公式

REI-009暴露曲线（财产险 XL）SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

每个保额段的期望损失 = 保费 × 预期赔付率，按暴露曲线 G 分给这一层：G((D + L)/M) − G(D/M)。暴露曲线用 Bernegger (1997) 的 MBBEFD 族，Swiss Re 的 Y1–Y4 曲线是它的特例。

说明和限制

暴露曲线假设一个保额段里所有风险的损失程度（损失 ÷ 保额）分布相同。用代表保额（段内的平均保额或中点）近似整段。
保额段用 PML 时，层要按 PML 对应的损失计算；保额远大于 PML 的风险要另行处理。
结果是这一层的期望损失（纯保费），不含费用、利润和风险附加。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“没有足够的大赔案经验，怎么按保单的保额分布和暴露曲线给一层财产险超赔定价？”