带恢复条款的超赔层定价 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

出险次数的分布

泊松 Poi(λ)负二项 NB(r, β)二项 Bin(m, q)

泊松的 λ次

均值

0 次5,000 次

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

离散分布的概率1 个数

和取值一一对应，自动归一

最小 1最大 1均值 1

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

自留额 D元

0 元1,000,000,000 万元

层的限额 L元

1 元1,000,000,000 万元

其余 3 个参数

恢复次数 k

020

恢复保费的比例 c

1 表示 100%

03

风险附加 θ

0 表示纯保费

05

当前选项用不到的 6 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：出险次数泊松 λ = 8；单次损失 Pareto 分布 α = 1.8，θ = 600000

输出

用时 1.0 秒 · 11/14 22:22 运行

首期保费 P: 66.43 万元
费率在线 ROL = P/L: 22.14%
年度总限额以内的期望赔款: 85.12 万元
期望恢复保费: 18.7 万元
不限年度总额时的期望赔款: 85.16 万元
年度总限额用完的概率: 0.06%

一年进入层的赔款超过某个金额的概率

纵轴：概率

不限年度总额时期望赔款 851,596，年度总限额 9,000,000 截掉了 387。

一年层赔款的分布usage4 行 · 2 列

结果表一年层赔款的分布
一年的层赔款	概率
有赔款进入层	0.433864
超过 1 个限额（用掉第 1 次恢复）	0.066052
超过 2 个限额（用掉第 2 次恢复）	0.00574812
年度总限额用完	0.000627214

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（Sundt 1991 的保费方程）：每次赔款都打满层（2M 的损失、1M xs 1M），层赔款 = L·N，N ~ Poi(0.5)。E[min(S, 2L)] = L(P₁ + 2(1 − P₀ − P₁)) = 0.4261L；E[min(S, L)] = L(1 − e^{−0.5})；P = 0.4261L/(1 + 0.3935) = 0.3058L
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 0.5 次层的限额 L 100 万元风险附加 θ 0恢复保费的比例 c 1恢复次数 k 1自留额 D 100 万元单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 1 个数离散分布的取值 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
年度总限额以内的期望赔款exp_loss 483,673.35 483,673.35
首期保费 Ppremium 347,100.1 347,100.1
允许误差 0.001
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：限额远大于损失、没有恢复时 E[S] = λE[(X − D)₊] = 2 × 1000e^{−1} = 735.76
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 2 次层的限额 L 10,000 万元风险附加 θ 0恢复保费的比例 c 1恢复次数 k 0自留额 D 1,000 元单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
年度总限额以内的期望赔款exp_loss 735.75888 735.75888
说明：这里年度总限额 = L = 1 亿，几乎不起作用；误差来自离散化的步长 L/256，放到 0.5
允许误差 0.5

项	标准答案	平台算出
年度总限额以内的期望赔款exp_loss	483,673.35	483,673.35
首期保费 Ppremium	347,100.1	347,100.1

项	标准答案	平台算出
年度总限额以内的期望赔款exp_loss	735.75888	735.75888

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：17 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 23 行1.0 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import reinstatements34result = reinstatements.reinstatements(5    freq_dist="poisson",6    lam=8,7    r=4,8    beta=2,9    m=50,10    q=0.2,11    sev_dist="pareto",12    theta=600000,13    alpha=1.8,14    gamma=1,15    sev_values=[2000000],16    sev_probs=[1],17    retention=2000000,18    limit=3000000,19    reinstatements=2,20    reinstatement_pct=1,21    loading=0,22)23print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Sundt, B. (1991). On excess of loss reinsurance with reinstatements. Bulletin of the Swiss Association of Actuaries第 2 节
IFoA SP8 Core ReadingReinstatement premiums

覆盖的考试公式

REI-013XL 燃烧成本、费率在线与恢复保费SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

算一年进入层的总赔款 S 的分布（Panjer），年度总限额 (k+1)L 下的期望赔款 E[min(S, (k+1)L)]，期望恢复保费 P·c·E[min(S, kL)]/L，解出首期保费 P，使首期保费加期望恢复保费等于（带附加的）期望赔款。

说明和限制

恢复保费按赔款比例收（pro rata as to amount），不按时间比例。
首期保费 P 和期望恢复保费合起来等于期望赔款（乘 1 + θ）。实际收的恢复保费是随机的，赔得多的年份收得多。
每次赔款进入层的部分先在步长 L/256 的格点上离散化（局部矩匹配）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一层超赔有 k 次恢复、每次按比例收恢复保费，首期保费收多少才够？平均会用掉几次恢复？”