分段乘积的经验生存函数（损失曲线） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

赔款18 个数 · 元

从 0 元起算的损失

最小 8最大 900均值 221.4

2–5,000 个数，每个在 0–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每笔赔款所在保单的限额18 个数 · 元

赔款等于限额表示被截住；只填一个时都用它；0 表示不限

最小 150最大 1,000均值 858.3

1–5,000 个数，每个在 0–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每笔赔款所在保单的免赔额1 个数 · 元

只报告超过它的损失；只填一个时都用它

最小 0最大 0均值 0

1–5,000 个数，每个在 0–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

阈值 u₁ < u₂ < …7 个数 · 元

最小 10最大 800均值 226.4

1–100 个数，每个在 0.0001–100,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的 18 笔赔款计算

输出

用时 165 毫秒 · 11/14 22:22 运行

S(800) 超过最高阈值的概率: 7.41%
E[X ∧ 800]（梯形法）: 261.481元
赔款笔数: 18笔

经验生存函数

分段乘积
直接数比例（忽略限额、免赔额）

纵轴：P(X > u)

“直接数比例”把被限额截住的赔款当成真实损失、忽略了免赔额，一般低估高处的生存概率。

各段的条件生存概率和 S(u)steps7 行 · 8 列

结果表各段的条件生存概率和 S(u)
段的起点	阈值 uᵢ	能用的赔款 NIᵢ	超过 uᵢ 的 Nuᵢ	被限额截住而退出	条件生存概率 CSPᵢ	S(uᵢ)	E[X ∧ uᵢ]
0	10	18	17	0	0.944444	0.944444	9.72222
10	25	17	15	0	0.882353	0.833333	23.0556
25	50	15	13	0	0.866667	0.722222	42.5
50	100	13	10	0	0.769231	0.555556	74.4444
100	200	9	6	1	0.666667	0.37037	120.741
200	400	5	4	1	0.8	0.296296	187.407
400	800	4	1	0	0.25	0.0740741	261.481

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：没有限额和免赔额时，CSP = 5/6、3/5、1/3，乘积 = 1/6，等于 6 笔里超过 50 的 1 笔（普通的经验生存函数）

参数每笔赔款所在保单的免赔额 1 个数每笔赔款所在保单的限额 1 个数赔款 6 个数阈值 u₁ < u₂ < … 3 个数

项	标准答案	平台算出
S(800) 超过最高阈值的概率survival_last	0.16666667	0.16666667
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 1 行	0.83333333	0.83333333
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 2 行	0.6	0.6
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 3 行	0.33333333	0.33333333

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：第 4 笔 30 被限额 30 截住，只参加前两段。第 3 段 (25, 50] 能用的是 45、60 两笔，超过 50 的 1 笔，CSP = 1/2；S(50) = 5/6 × 3/5 × 1/2 = 0.25（把 30 当成真实损失会得到 1/6）
参数每笔赔款所在保单的免赔额 1 个数每笔赔款所在保单的限额 6 个数赔款 6 个数阈值 u₁ < u₂ < … 3 个数
项标准答案平台算出
S(800) 超过最高阈值的概率survival_last 0.25 0.25
能用的赔款 NIᵢ表 steps · 第 3 行 2 2
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 3 行 0.5 0.5
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	平台算出
S(800) 超过最高阈值的概率survival_last	0.25	0.25
能用的赔款 NIᵢ表 steps · 第 3 行	2	2
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 3 行	0.5	0.5

第 3 条

平台算出的数对得上

手算：免赔额 10 的两笔（12、40）从第 2 段起参加。第 1 段 3 笔都超过 10，CSP = 1；第 2 段 15、30、60、12、40 中超过 25 的 3 笔，CSP = 0.6；第 3 段 30、60、40 中超过 50 的 1 笔，CSP = 1/3；S(50) = 0.2

参数每笔赔款所在保单的免赔额 5 个数每笔赔款所在保单的限额 1 个数赔款 5 个数阈值 u₁ < u₂ < … 3 个数

项	标准答案	平台算出
S(800) 超过最高阈值的概率survival_last	0.2	0.2
能用的赔款 NIᵢ表 steps · 第 1 行	3	3
能用的赔款 NIᵢ表 steps · 第 2 行	5	5
条件生存概率 CSPᵢ表 steps · 第 2 行	0.6	0.6

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行165 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import loss_curve_survival34result = loss_curve_survival.loss_curve_survival(5    losses=[8, 15, 22, 35, 40, 55, 70, 90, 120, 150, 150, 200, 260, 300, 420, 500, 650, 900],6    limits=[1000, 1000, 500, 1000, 1000, 500, 1000, 1000, 1000, 150, 1000, 1000, 1000, 300, 1000, 1000, 1000, 1000],7    deductibles=[0],8    thresholds=[10, 25, 50, 100, 200, 400, 800],9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA SP8 Core ReadingLoss curves：empirical survival function from conditional survival probabilities
Kaplan, E. L. and Meier, P. (1958). Nonparametric estimation from incomplete observations. JASA 53乘积限估计

覆盖的考试公式

REI-012经验生存函数（分段乘积）SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

取阈值 u₁ < u₂ < …。在每一段 (uᵢ₋₁, uᵢ] 上，只用“能看到是否超过 uᵢ”的赔款：已经超过 uᵢ₋₁、免赔额不高于 uᵢ₋₁、限额不低于 uᵢ。其中超过 uᵢ 的比例是条件生存概率 CSPᵢ，相乘得到 S(uₙ)。再用梯形法给出有限期望值和层的期望。

说明和限制

第一个阈值之前的那一段 (u₀, u₁] 从 u₀ = 0（或者最小的免赔额）算起。
赔款等于限额时看不出它是否超过更高的阈值，所以它只参加阈值不超过限额的那些段。
有限期望值和层的期望在阈值之间按生存函数线性变化计算（梯形法），阈值越密越准。
某一段没有能用的赔款时，乘积在那里停下，后面的生存概率不给。

数据

按输入的赔款计算。默认是示例数字，不是真实数据

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“大赔案来自限额、免赔额不同的保单，有的赔款被限额截住了，怎样估计损失超过某个金额的概率？”