赔款分层

几个人（投保人、保险公司、几家再保险人）按金额段分担赔款，每笔赔款每层各赔多少？按分布算每层的期望是多少？

SOA FAMIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分界点 M₁ < M₂ < …2 个数 · 元

最小 100最大 3,000均值 1,550

1–10 个数，每个在 0.001–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

赔款4 个数 · 元

最小 50最大 4,000均值 1,613

1–200 个数，每个在 0–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

一年的赔款次数次

算每层的年期望

0 次100 万次

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的 4 笔赔款拆分；期望按 Pareto 分布 α = 2.5，θ = 1000 计算

输出

用时 807 毫秒 · 11/14 22:26 运行

赔款合计: 6,450元
赔款笔数: 4笔
单次损失的期望: 666.667元

各层分担的赔款

纵轴：元

最上面一层没有上限时，期望可能不存在（例如 Pareto α ≤ 1），表里为空。

各层的期望赔款expected3 行 · 5 列

结果表各层的期望赔款
层	每次赔款在这层的期望（元）	一年的期望（元）	进入这层的概率	占期望损失的比例
(0, 100]	88.8106	888.106	1	0.133216
(100, 3,000]	494.523	4,945.23	0.787986	0.741784
(3,000, ∞]	83.3333	833.333	0.03125	0.125

各赔款在各层的分摊split4 行 · 6 列

结果表各赔款在各层的分摊
层	赔款 1	赔款 2	赔款 3	赔款 4	合计
(0, 100]	50	100	100	100	350
(100, 3,000]	0	500	1,700	2,900	5,100
(3,000, ∞]	0	0	0	1,000	1,000
合计	50	600	1,800	4,000	6,450

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 13.4.4：分界点 100、3000，赔款 50、600、1800、4000，各层合计 350、5100、1000，总计 6450
参数赔款 4 个数分界点 M₁ < M₂ < … 2 个数其余用默认值
项标准答案这次算出
赔款合计total 6,450 6,450
合计表 split · 第 1 行 350 350
合计表 split · 第 2 行 5,100 5,100
合计表 split · 第 3 行 1,000 1,000
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：Exp(1000)，第一层 E[X∧1000] = 1000(1 − e^{−1}) = 632.12，第二层 E[(X − 1000)₊] = 1000e^{−1} = 367.88
参数赔款 1 个数分界点 M₁ < M₂ < … 1 个数一年的赔款次数 1 次单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 1,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
每次赔款在这层的期望（元）表 expected · 第 1 行 632.12056 632.12056
每次赔款在这层的期望（元）表 expected · 第 2 行 367.87944 367.87944
允许误差 0.000001

项	标准答案	这次算出
赔款合计total	6,450	6,450
合计表 split · 第 1 行	350	350
合计表 split · 第 2 行	5,100	5,100
合计表 split · 第 3 行	1,000	1,000

项	标准答案	平台算出
每次赔款在这层的期望（元）表 expected · 第 1 行	632.12056	632.12056
每次赔款在这层的期望（元）表 expected · 第 2 行	367.87944	367.87944

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行807 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import layers34result = layers.layers(5    cuts=[100, 3000],6    claims=[50, 600, 1800, 4000],7    sev_dist="pareto",8    theta=1000,9    alpha=2.5,10    gamma=1,11    frequency=10,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.4.3 Layers of Coverage

覆盖的考试公式

REI-003超额赔款再保险：自留与分出期望FAMCS2SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

分界点 0 = M₀ < M₁ < … < M_k = ∞，第 j 层赔 min(X, M_j) − min(X, M_{j−1})。逐笔拆分输入的赔款，并按单次损失分布算每层的期望损失、进入的概率和占比。

说明和限制

同一方可以分担不止一层（例如投保人担第一层和最上面一层）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几个人（投保人、保险公司、几家再保险人）按金额段分担赔款，每笔赔款每层各赔多少？按分布算每层的期望是多少？”