多个风险的最优自留 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每个风险的 Pareto α3 个数

最小 3最大 4均值 3.333

1–20 个数，每个在 1.01–100 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个风险的 Pareto θ3 个数 · 元

最小 1,000最大 3,000均值 2,000

1–20 个数，每个在 0.001–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

要留下的期望收入 K元

自留的期望赔款

0.001 元1,000,000,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的 3 个 Pareto 风险计算

输出

用时 1.9 秒 · 11/14 22:22 运行

全部风险的期望损失: 2,500元
成数最优时的自留方差: 342.9 万元²
超赔最优时的自留方差: 117.8 万元²
超赔的 Mᵢ − E[Xᵢ∧Mᵢ]（对所有风险相等）: 1,344.13元

要求的期望收入 K 和最优自留额

风险 1 的自留额
风险 2 的自留额
风险 3 的自留额

纵轴：自留额（元）

有的成数自留比例超过 1：要求的 K 太大，按比例分保做不到。
同样的期望收入下，超赔的自留方差一般比成数小：超赔把尾部交给再保险人。

各风险的最优自留risks3 行 · 9 列

结果表各风险的最优自留
风险	α	θ	期望	方差	成数自留比例 cᵢ	超赔自留额 Mᵢ	超赔自留期望	Mᵢ − E[Xᵢ∧Mᵢ]
1	3	1,000	500	750,000	1.14286	1,779.41	435.276	1,344.13
2	3	2,000	1,000	3,000,000	0.571429	2,106.99	762.856	1,344.13
3	4	3,000	1,000	2,000,000	0.857143	2,146	801.868	1,344.13

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算（Loss Data Analytics 第 2 版例 13.4.2 的三个 Pareto 风险）：E = 500、1000、1000，Var = 750,000、3,000,000、2,000,000，K = 1000 时 cᵢ = K(E/Var)/Σ(E²/Var) = 0.5714、0.2857、0.4286

参数要留下的期望收入 K 1,000 元每个风险的 Pareto α 3 个数每个风险的 Pareto θ 3 个数

项	标准答案	平台算出
成数自留比例 cᵢ表 risks · 第 1 行	0.57142857	0.57142857
成数自留比例 cᵢ表 risks · 第 2 行	0.28571429	0.28571429
成数自留比例 cᵢ表 risks · 第 3 行	0.42857143	0.42857143

允许误差 1×10⁻⁹

第 2 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 13.4.3（书中只给图）：K = 2000。独立核对：直接对 M₁、M₂ 做 Nelder-Mead 最小化自留方差，M₃ 由约束解出，有限矩用数值积分；得到 M = 1779.41、2106.99、2146.00，最小方差 1,178,275.59

参数要留下的期望收入 K 2,000 元每个风险的 Pareto α 3 个数每个风险的 Pareto θ 3 个数

项	标准答案	这次算出
超赔最优时的自留方差xl_var	1,178,275.6	1,178,275.6
超赔自留额 Mᵢ表 risks · 第 1 行	1,779.4096	1,779.4097
超赔自留额 Mᵢ表 risks · 第 2 行	2,106.9893	2,106.9892
超赔自留额 Mᵢ表 risks · 第 3 行	2,146.002	2,146.002

说明：书中没有数值答案；这里用不依赖拉格朗日条件的另一种最优化独立算出。Mᵢ − E[Xᵢ∧Mᵢ] 都等于 1344.13

允许误差 0.05

上面这次运行用的就是这道题的参数

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：3 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 9 行1.9 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.reinsurance import optimal_retention34result = optimal_retention.optimal_retention(5    alphas=[3, 3, 4],6    thetas=[1000, 2000, 3000],7    K=2000,8)9print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）13.4.1 Optimizing Quota Share Agreements；13.4.2 Optimal Choice for Excess of Loss Retention Limits

这个方法算什么

成数：自留比例 cᵢ 和 E[Xᵢ]/Var(Xᵢ) 成正比。超赔：自留额 Mᵢ 使 Mᵢ − E[Xᵢ∧Mᵢ] 对所有风险相等。两种都满足 Σ 自留期望 = K，列出最优的比例或自留额和最小的自留方差。

说明和限制

风险之间独立，再保险按纯保费计价（分出的期望就是再保费）。
成数需要方差存在（Pareto α > 2）；超赔的自留部分有界，方差总存在。
成数比例超过 1 表示要求的 K 太大，按比例的做法不可行。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

再保险，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几个独立的风险要分保，自己要留下期望 K 的业务，各留多少比例或多大的自留额，自留的波动最小？”