死亡率改善：折减因子和投影 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

基期生命表

改善的写法

α：最终能降到基期的比例下限

01

f：n 年内可降部分降掉的比例

01

n 年年

1 年100 年

投影到第 t 年年

0 年100 年

年龄 x岁

0 岁104 岁

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）：第四套非养老类业务一表（男）（基期）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 349 毫秒 · 11/14 22:26 运行

第 20 年的折减因子 R: 0.6
基期的 q_60: 0.007952
第 20 年的 q_60: 0.0047712
基期的时期期望余命 e_60: 21.3294年
第 20 年的时期期望余命 e_60: 25.5681年
第 20 年 60 岁的人的队列期望余命: 29.229年

基期和第 20 年的死亡率（对数刻度）

基期
第 20 年

纵轴：q_x

各年的折减因子、死亡率和期望余命projection21 行 · 4 列

结果表各年的折减因子、死亡率和期望余命
第几年	折减因子 R	q_60	时期期望余命 e_60
0	1	0.007952	21.3294
5	0.872717	0.00693985	22.425
10	0.765685	0.00608873	23.5023
15	0.675683	0.00537303	24.553
20	0.6	0.0047712	25.5681
25	0.536359	0.00426512	26.5382
30	0.482843	0.00383957	27.4546
35	0.437841	0.00348171	28.31
40	0.4	0.0031808	29.0992
45	0.368179	0.00292776	29.8192
50	0.341421	0.00271498	30.4694
55	0.318921	0.00253606	31.0509
60	0.3	0.0023856	31.5667
65	0.28409	0.00225908	32.0207
70	0.270711	0.00215269	32.4177
75	0.25946	0.00206323	32.7628
80	0.25	0.001988	33.0614
85	0.242045	0.00192474	33.3187
90	0.235355	0.00187155	33.5395
95	0.22973	0.00182681	33.7284
100	0.225	0.0017892	33.8895

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式手算（CS2 的折减因子）：α = 0.2、f = 0.4、n = 20、t = 10，R = 0.2 + 0.8 × 0.6^{1/2}
参数年龄 x 2 岁α：最终能降到基期的比例下限 0.2f：n 年内可降部分降掉的比例 0.4改善的写法折减因子 R_{x,t} = α + (1 − α)(1 − f)^{t/n}n 年 20 年qx 5 个数投影到第 t 年 10 年其余用默认值
项标准答案平台算出
第 20 年的折减因子 RR 0.81967734 0.81967734
第 20 年的 q_60q_t 0.040983867 0.040983867
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行
第 2 条
平台算出的数对得上
手算：q = 0.01、0.02、0.05、0.1、1，年改善 2%。队列：第 j 年的死亡率乘 0.98^j；时期（t = 0）用基期表
参数年龄 x 0 岁改善的写法固定的年改善率：q_{x,t} = q_x(1 − r)^tqx 5 个数固定的年改善率 r 0.02投影到第 t 年 0 年其余用默认值
项标准答案平台算出
第 20 年 60 岁的人的队列期望余命e_cohort 3.721607 3.721607
第 20 年的时期期望余命 e_60e_period 3.711411 3.711411
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|
题里用了页面上没有的参数（qx），平台在测试里运行

项	标准答案	平台算出
第 20 年的折减因子 RR	0.81967734	0.81967734
第 20 年的 q_60q_t	0.040983867	0.040983867

项	标准答案	平台算出
第 20 年 60 岁的人的队列期望余命e_cohort	3.721607	3.721607
第 20 年的时期期望余命 e_60e_period	3.711411	3.711411

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行349 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import improvement34result = improvement.improvement(5    table="2025-CL2-M",6    kind="reduction",7    alpha=0.2,8    f=0.5,9    n=20,10    rate=0.015,11    t=20,12    age=60,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物第 12 章死亡率预测
Continuous Mortality Investigation (1999) CMI Report 17折减因子

覆盖的考试公式

GRD-011死亡率改善折减因子CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用折减因子 R_{x,t} = α + (1 − α)(1 − f)^{t/n} 或固定的年改善率，把平台的经验生命表（基期）投影到第 t 年：投影后的 q_{x,t}、时期期望余命，以及按队列（同一出生年的人沿对角线经历逐年改善的死亡率）算的期望余命。

说明和限制

折减因子：t = 0 时 R = 1，t → ∞ 时 R → α。f 是 n 年内可降部分（1 − α）降掉的比例。
时期期望余命用第 t 年的整张投影表；队列期望余命让这个人每过一年用再晚一年的改善因子（从第 0 年起算）。
改善假设对所有年龄相同。真实的改善随年龄和年份变化（例如 CMI 模型），要用 mortality.lee_carter 等模型估计。

数据

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“死亡率每年都在下降，按改善假设，t 年后某个年龄的死亡率是多少？一个人按队列算的期望余命比按今天的表多多少？”