暴露数：精确计算和普查近似 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

个人记录普查人数

进入观察的年龄8 个数 · 岁

精确到小数

最小 59.5最大 61.5均值 60.46

1–2,000 个数，每个在 0–120 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

退出观察的年龄8 个数 · 岁

死亡、失效或观察结束

最小 60.4最大 62均值 61.41

1–2,000 个数，每个在 0–121 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

是否死亡8 个数

1 是、0 否

最小 0最大 1均值 0.5

1–2,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

内置的例子或调用时传入的个人记录

输出

用时 164 毫秒 · 11/14 22:26 运行

中心暴露数合计: 7.6人年
初始暴露数合计: 9.15人年
死亡人数: 4人
合计的 μ̂ = D/E^c: 0.526316
合计的 q̂ = D/E: 0.437158

每个年龄的暴露数

中心暴露
初始暴露

纵轴：人年

各年龄的暴露数和死亡率by_age4 行 · 7 列

结果表各年龄的暴露数和死亡率
年龄 x	中心暴露 E^c_x	初始暴露 E_x	E^c_x + D_x/2	死亡 D_x	μ̂_x = D/E^c	q̂_x = D/E
59	0.7	0.7	0.7	0	0	0
60	3.5	4.35	4.5	2	0.571429	0.45977
61	3.4	4.1	4.4	2	0.588235	0.487805
62	0	0	0	0	—	—

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

手算：8 个人的进入、退出年龄。60 岁的中心暴露 0.75 + 0.25 + 1.0 + 0.4 + 1.0 + 0.1 = 3.5，2 人死于 60 岁（60.75、60.4），初始暴露再加 0.25 + 0.6；61 岁的中心暴露 0.5 + 0.7 + 1.0 + 0.3 + 0.4 + 0.5 = 3.4

参数数据个人记录其余用默认值

项	标准答案	这次算出
死亡 D_x表 by_age · age=60	2	2
中心暴露 E^c_x表 by_age · age=60	3.5	3.5
初始暴露 E_x表 by_age · age=60	4.35	4.35
死亡 D_x表 by_age · age=61	2	2
中心暴露 E^c_x表 by_age · age=61	3.4	3.4

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：0.5×(100+110)/2 + 0.5×(110+120)/2 + 1×(120+90)/2 = 215，μ̂ = 6/215
参数每次普查的人数 P_{x,t} 4 个数普查期间这个年龄的死亡人数 6 人普查时点 4 个数数据普查人数其余用默认值
项标准答案平台算出
中心暴露数合计Ec 215 215
合计的 μ̂ = D/E^cmu 0.027906977 0.027906977
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
中心暴露数合计Ec	215	215
合计的 μ̂ = D/E^cmu	0.027906977	0.027906977

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行164 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import exposure34result = exposure.exposed_to_risk(5    mode="records",6    entry=[60.25, 60.5, 59.5, 61.2, 60, 59.8, 60.9, 61.5],7    exit=[61.5, 60.75, 62, 61.9, 60.4, 61.3, 61.4, 62],8    died=[0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0],9    census_times=[0, 0.5, 1, 2],10    census_counts=[100, 110, 120, 90],11    census_deaths=6,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物第 10 章暴露数
Macdonald、Richards、Currie：Modelling Mortality with Actuarial Applications第 2 章

覆盖的考试公式

GRD-005常数死亡力的 MLE 与泊松模型CS2
GRD-006中心暴露数（精确积分与梯形近似）CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按个人记录（进入年龄、退出年龄、是否死亡）逐个年龄算中心暴露数 E^c_x、初始暴露数 E_x（死亡的人算到下一个生日）和死亡人数，得到 μ̂ = D/E^c 和 q̂ = D/E；只有普查人数时，用梯形公式近似中心暴露数。

说明和限制

年龄按“上一个生日”分组：x 岁指 [x, x+1)。死亡归到死亡时的年龄。
初始暴露数用于估计 q_x（二项模型）：死亡的人要算到下一个生日。中心暴露数用于估计 μ（泊松或两状态模型）。
普查的年龄定义要和死亡人数的年龄定义一致；不一致时要先调整（例如普查按最近生日、死亡按上一个生日）。

数据

内置的例子或调用时传入的记录

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“观察了一批人的进入和退出时间，每个年龄的中心暴露数、初始暴露数是多少？只有几次普查人数时怎么近似？”