修匀检验：χ²、符号、分组、序列相关和累积偏差

修匀后的死亡率（或一张标准表）和实际的死亡经验相符吗？哪里偏高、哪里偏低？

IFoA CS2

公式

\displaystyle z_x=\frac{D_x-E^c_x\mathring\mu_x}{\sqrt{E^c_x\mathring\mu_x}},\ X^2=\sum_xz_x^2\sim\chi^2_{m-k},\ P\sim\mathrm{Bin}(m,\tfrac12),\ G\sim N\Big(\frac{n_1(n_2+1)}{n_1+n_2},\frac{(n_1n_2)^2}{(n_1+n_2)^3}\Big),\ r_j=\frac{\frac1{m-j}\sum_{i=1}^{m-j}(z_i-\bar z)(z_{i+j}-\bar z)}{\frac1m\sum_i(z_i-\bar z)^2},\ \frac{\sum_x(D_x-E^c_x\mathring\mu_x)}{\sqrt{\sum_xE^c_x\mathring\mu_x}}\sim N(0,1)

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 8 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡经验

要检验的死亡率

标准表

修匀用掉的参数个数

χ² 的自由度要扣掉

050

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：按第四套生命表（CL2 男）死亡率的 90% 和合成的暴露数，用固定种子模拟的死亡人数

insured-life-mortality-2025

输出

用时 1.0 秒 · 11/14 22:26 运行

实际/预期 A/E: 0.887282
χ²: 71.836
自由度: 61
χ² 检验的 p 值: 0.161606
正偏差的个数: 16
符号检验的 p 值: 0.000264279
正偏差的段数: 11
分组检验的 p 值（精确）: 0.342851
分组检验的 p 值（正态近似）: 0.354112
段数的近似均值: 12.0656
段数的近似方差: 2.28389
滞后 1 的序列相关 r₁: -0.00220662
序列相关检验的 p 值: 0.506875
累积偏差的标准化值: -3.6883
累积偏差检验的 p 值: 0.000225761
|z| > 2 的个数: 3
|z| > 3 的个数: 1

标准化偏差 z_x

纵轴：z

和第四套非养老类业务一表（男）比较（μ = −ln(1 − q)）。
在 5% 水平没通过：标准化偏差的分布（6 组）；符号检验：正偏差的个数；序列相关检验：滞后 2 的相关系数（单侧）；累积偏差检验

各年龄的实际、预期和标准化偏差deviations61 行 · 5 列

结果表各年龄的实际、预期和标准化偏差
年龄	实际死亡	预期死亡 E^c μ	标准化偏差 z	符号
30	1	0.442669	0.837671	+
31	3	0.53177	3.38473	+
32	0	0.639702	-0.799814	−
33	2	0.771848	1.39793	+
34	0	0.9335	-0.966178	−
35	0	1.13215	-1.06402	−
36	0	1.37399	-1.17217	−
37	0	1.66861	-1.29175	−
38	2	2.01925	-0.01355	−
39	2	2.43349	-0.277887	−
40	2	2.92153	-0.539146	−
41	3	3.4863	-0.260448	−
42	8	4.13921	1.89766	+
43	7	4.8866	0.956046	+
44	8	5.73546	0.945575	+
45	9	6.6815	0.896956	+
46	7	7.72649	-0.26136	−
47	9	8.85798	0.0477165	+
48	9	10.0636	-0.335261	−
49	12	11.3373	0.196816	+
50	9	12.6638	-1.02955	−
51	13	14.0394	-0.277408	−
52	11	15.4626	-1.13488	−
53	12	16.9319	-1.19857	−
54	21	18.4334	0.597797	+
55	15	19.944	-1.10706	−
56	21	21.4259	-0.0920183	−
57	20	22.8263	-0.59156	−
58	22	24.1012	-0.427999	−
59	27	25.193	0.360016	+
60	24	26.0687	-0.405162	−
61	20	26.7181	-1.2997	−
62	15	27.1396	-2.33025	−
63	23	27.3629	-0.834048	−
64	25	27.4135	-0.460956	−
65	26	27.3317	-0.254723	−
66	19	27.1473	-1.56369	−
67	23	26.8895	-0.750072	−
68	24	26.5773	-0.49994	−
69	25	26.227	-0.239599	−
70	22	25.8499	-0.757217	−
71	18	25.4491	-1.47662	−
72	27	25.0373	0.392247	+
73	25	24.625	0.0755711	+
74	19	24.221	-1.06086	−
75	21	23.8468	-0.582964	−
76	20	23.5167	-0.725177	−
77	23	23.2585	-0.0535919	−
78	11	23.0925	-2.5164	−
79	29	23.0468	1.24006	+
80	20	23.1598	-0.656578	−
81	25	23.5809	0.292228	+
82	19	23.6417	-0.954641	−
83	20	23.9138	-0.800331	−
84	17	24.424	-1.5022	−
85	24	25.1767	-0.234505	−
86	24	26.2067	-0.431057	−
87	18	27.5277	-1.81594	−
88	38	29.1361	1.64214	+
89	20	31.0405	-1.98164	−
90	31	33.2546	-0.390973	−

各项检验的统计量和结论tests11 行 · 5 列

结果表各项检验的统计量和结论
检验	统计量	参照分布	p 值	结论
χ² 检验（整体拟合）	71.836	χ²(61)	0.161606	通过
标准化偏差的分布（6 组）	14.3763	χ²(5)	0.0133876	不通过（5% 水平）
个别偏差：\|z\| > 2 的个数（期望约 5%）	3	期望 2.78	0.529024	通过
个别偏差：\|z\| > 3 的个数	1	应为 0	—	—
符号检验：正偏差的个数	16	Bin(61, 1/2)	0.000264279	不通过（5% 水平）
符号分组检验：正偏差的段数（精确，单侧）	11	n₁ = 16，n₂ = 45	0.342851	通过
符号分组检验（正态近似，连续性修正）	11	N(12.066, 2.284)	0.354112	通过
序列相关检验：滞后 1 的相关系数（单侧）	-0.00220662	r√m ~ N(0, 1)	0.506875	通过
序列相关检验：滞后 2 的相关系数（单侧）	0.260469	r√m ~ N(0, 1)	0.0209593	不通过（5% 水平）
序列相关检验：滞后 3 的相关系数（单侧）	0.0243771	r√m ~ N(0, 1)	0.424501	通过
累积偏差检验	-3.6883	N(0, 1)，双侧	0.000225761	不通过（5% 水平）

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：E^c = 100、μ = 0.04，D = 6、2、5、3、8、5，z = 1、−1、0.5、−0.5、2、0.5；X² = 6.75；正偏差 4 个，正段 3 个（n₁ = 4、n₂ = 2 时 Pr(G ≤ 3) = 1）；符号检验双侧 p = 2 Pr(Bin(6, 1/2) ≥ 4) = 2 × 22/64；累积偏差 (29 − 24)/√24；r₁ 按定义直接算

参数死亡经验自己输入死亡人数 D_x 6 个数中心暴露数 E^c_x 6 个数修匀后的 μ_x 6 个数修匀用掉的参数个数 0要检验的死亡率自己输入修匀后的 μ其余用默认值

项	标准答案	平台算出
χ²chi2	6.75	6.75
累积偏差的标准化值cum_dev	1.0206207	1.0206207
正偏差的段数groups	3	3
分组检验的 p 值（精确）p_groups	1	1
符号检验的 p 值p_signs	0.6875	0.6875
正偏差的个数positives	4	4
滞后 1 的序列相关 r₁r1	-0.4919708	-0.4919708

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：符号 + + + − − − − + + +，n₁ = 6、n₂ = 4、G = 2；精确 Pr(G ≤ 2) = [C(5,0)C(5,1) + C(5,1)C(5,2)]/C(10,6) = 55/210；正态近似的均值 n₁(n₂+1)/(n₁+n₂) = 3，方差 (n₁n₂)²/(n₁+n₂)³ = 0.576
参数死亡经验自己输入死亡人数 D_x 10 个数中心暴露数 E^c_x 10 个数修匀后的 μ_x 10 个数要检验的死亡率自己输入修匀后的 μ其余用默认值
项标准答案平台算出
正偏差的段数groups 2 2
段数的近似均值groups_mean 3 3
段数的近似方差groups_var 0.576 0.576
分组检验的 p 值（精确）p_groups 0.26190476 0.26190476
允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
正偏差的段数groups	2	2
段数的近似均值groups_mean	3	3
段数的近似方差groups_var	0.576	0.576
分组检验的 p 值（精确）p_groups	0.26190476	0.26190476

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行1.0 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import graduation_tests34result = graduation_tests.graduation_tests(5    data="demo",6    deaths=[6, 2, 5, 3, 8, 5],7    exposures=[100, 100, 100, 100, 100, 100],8    age_from=30,9    source="standard",10    standard="2025-CL2-M",11    mu=[0.04, 0.04, 0.04, 0.04, 0.04, 0.04],12    n_params=0,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物第 11 章修匀检验
Forfar、McCutcheon、Wilkie (1988) On graduation by mathematical formula第 7 节

覆盖的考试公式

GRD-007标准化偏差与卡方检验（修匀检验）CS2
GRD-008符号检验与累积偏差检验CS2
GRD-009符号分组检验与序列相关检验CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对每个年龄的标准化偏差 z_x 做 CS2 的全套检验：χ² 检验、标准化偏差的分布、个别偏差、符号检验、符号分组检验（精确分布和正态近似）、滞后 1–3 的序列相关检验、累积偏差检验，逐项给出统计量、p 值和结论。默认把演示数据和第四套生命表比较。

说明和限制

和标准表比较时不扣参数（n_params = 0）；检验修匀结果时把修匀用掉的参数个数填进去。
z_x 是 0 的年龄在符号检验和分组检验里不计。
标准化偏差的分布：年龄数不少于 30 时分 6 组，否则分 4 组；每组的期望个数太小时结论只作参考。
χ² 检验看整体拟合；符号和累积偏差看整体偏高偏低；分组和序列相关看是不是一段一段地偏（修匀得太平滑）。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“修匀后的死亡率（或一张标准表）和实际的死亡经验相符吗？哪里偏高、哪里偏低？”