Cox 比例风险模型 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

观察到的时间42 个数

死亡或删失

最小 1最大 35均值 12.88

2–2,000 个数，每个在 0–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

是否死亡42 个数

1 是、0 删失

最小 0最大 1均值 0.7143

2–2,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

协变量 142 个数

最小 0最大 1均值 0.5

2–2,000 个数，每个在 -100 万–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

协变量 20 个数

可空

0–2,000 个数，每个在 -100 万–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

同时死亡的处理

Breslow 近似Efron 近似

置信水平

0.50.999

没有用数据：按输入的参数计算

Gehan (1965) 的公开例子或调用时传入的数据

输出

用时 1.1 秒 · 11/14 22:44 运行

β1: 1.57213
β1 的标准误: 0.412397
风险比 exp(β1): 4.81687
风险比的 0.95 下限: 2.14651
风险比的 0.95 上限: 10.8093
β1 的 p 值（Wald）: 0.000137754
似然比统计量: 16.3517
似然比检验的 p 值: 0.0000526092
Wald 统计量: 14.5326
得分检验统计量: 17.2465
偏对数似然: -85.0084

按协变量的生存曲线（Breslow 基准）

z = 0
z = 1

纵轴：生存概率

statsmodels PHReg 交叉核对：β = 1.572125，和本方法差 4.4e-16。

基准累积风险和基准生存baseline17 行 · 3 列

结果表基准累积风险和基准生存
死亡时点	基准累积风险 Λ₀(t)	基准生存 e^{−Λ₀}
1	0.0163727	0.983761
2	0.0341473	0.966429
3	0.0438667	0.957082
4	0.0642603	0.937761
5	0.0868754	0.916791
6	0.124945	0.882545
7	0.138314	0.870825
8	0.192513	0.824884
10	0.211192	0.809619
11	0.250001	0.7788
12	0.298899	0.741634
13	0.330881	0.718291
15	0.36392	0.694947
16	0.403211	0.668171
17	0.44411	0.641395
22	0.564348	0.568731
23	0.749244	0.472724

协变量的系数和风险比coef1 行 · 7 列

结果表协变量的系数和风险比
协变量	β	标准误	风险比	下限	上限	p 值
z1	1.57213	0.412397	4.81687	2.14651	10.8093	0.000137754

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
Gehan 数据的标准结果：Breslow β = 1.509、标准误 0.410（Klein、Moeschberger；R survival::coxph）；更多位数用 statsmodels 0.15 PHReg 独立计算
参数同时死亡的处理 Breslow 近似其余用默认值
项标准答案平台算出
β1beta1 1.5091914 1.5091914
似然比统计量lr 15.210857 15.210857
β1 的标准误se1 0.40956441 0.40956441
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 2 条
这次算出的数对得上
Gehan 数据的标准结果：Efron β = 1.572、标准误 0.412、似然比 16.35（R survival::coxph 的默认）；更多位数用 statsmodels 0.15 PHReg 独立计算
参数同时死亡的处理 Efron 近似其余用默认值
项标准答案这次算出
β1beta1 1.5721251 1.5721251
似然比统计量lr 16.351691 16.351691
β1 的标准误se1 0.41239672 0.41239672
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	平台算出
β1beta1	1.5091914	1.5091914
似然比统计量lr	15.210857	15.210857
β1 的标准误se1	0.40956441	0.40956441

项	标准答案	这次算出
β1beta1	1.5721251	1.5721251
似然比统计量lr	16.351691	16.351691
β1 的标准误se1	0.41239672	0.41239672

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行1.1 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import cox34result = cox.cox(5    time=[6, 6, 6, 6, 7, 9, 10, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 32, 32, 34, 35, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23],6    event=[1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],7    z1=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],8    z2=[],9    ties="efron",10    conf=0.95,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库statsmodels0.15.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Cox (1972) Regression models and life-tables, JRSS B 34
Gehan (1965) A generalized Wilcoxon test, Biometrika 52
Klein、Moeschberger：Survival Analysis第 8 章
IFoA CS2 核心读物第 8 章比例风险模型

覆盖的考试公式

GRD-004Cox 比例风险模型与偏似然CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

λ(t; z) = λ₀(t)·exp(βᵀz)：用偏似然估计 β（同时死亡用 Breslow 或 Efron 近似），给出风险比和置信区间、Wald 检验、似然比检验、得分检验，以及 Breslow 基准累积风险和按协变量分组的生存曲线。默认是 Gehan (1965) 的白血病缓解数据。

说明和限制

Gehan 数据：z = 1 是安慰剂组。β > 0 表示安慰剂组复发的风险更高。
同时死亡的处理不同，β 会略有不同：Efron 近似更接近精确的偏似然。
结果和 statsmodels 的 PHReg 一致（见测试）。Kaplan-Meier 和 Nelson-Aalen 估计用 estimation.kaplan_meier。

数据

内置的公开例子：Gehan (1965) 急性白血病的缓解时间（6-MP 组和安慰剂组各 21 人），或调用时传入的数据

开源库和版本

statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一个因素（例如治疗方式、吸烟、职业）让死亡率高多少倍？在不假设基准死亡率形状的情况下怎么估计？”