粗死亡率和置信区间 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

数据

置信水平

0.50.999

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：按第四套生命表（CL2 男）死亡率的 90% 和合成的暴露数，用固定种子模拟的死亡人数

insured-life-mortality-2025

输出

用时 989 毫秒 · 11/14 22:26 运行

合计的 μ̂: 0.00792308
死亡人数合计: 950人
中心暴露数合计: 11.99 万人年
饱和模型的泊松对数似然: -124.806

粗死亡率和精确置信区间（对数刻度）

μ̂
精确下限
精确上限
真实 μ（模拟用）

纵轴：μ

各年龄的粗死亡率和区间rates61 行 · 13 列

结果表各年龄的粗死亡率和区间
年龄	死亡 D	中心暴露 E^c	μ̂ = D/E^c	标准误	0.95 精确下限	0.95 精确上限	正态近似下限	正态近似上限	q̂ = 1 − e^{−μ̂}	二项 q̂ = D/(E^c + D/2)	中心死亡率 m	模拟用的真实 μ
30	1	753.9	0.00132644	0.00132644	0.00003358	0.00739043	-0.00127333	0.0039262	0.00132556	0.00132556	0.00132644	0.00052844
31	3	864.4	0.00347062	0.00200376	0.000715724	0.0101426	-0.000456683	0.00739791	0.0034646	0.0034646	0.00347062	0.000553653
32	0	988.4	0	0	0	0.00373217	0	0	0	0	0	0.00058247
33	2	1,126.4	0.00177557	0.00125552	0.00021503	0.00641396	-0.000685199	0.00423633	0.00177399	0.00177399	0.00177557	0.00061669
34	0	1,278.3	0	0	0	0.00288577	0	0	0	0	0	0.000657216
35	0	1,443.5	0	0	0	0.00255551	0	0	0	0	0	0.000705849
36	0	1,621.5	0	0	0	0.00227498	0	0	0	0	0	0.000762591
37	0	1,810.9	0	0	0	0.00203704	0	0	0	0	0	0.000829244
38	2	2,010.2	0.000994926	0.000703519	0.00012049	0.00359401	-0.000383946	0.0023738	0.000994431	0.000994431	0.000994926	0.000904008
39	2	2,217.1	0.000902079	0.000637866	0.000109246	0.00325862	-0.000348116	0.00215227	0.000901673	0.000901673	0.000902079	0.000987788
40	2	2,429.1	0.00082335	0.000582197	0.00009971	0.00297422	-0.000317734	0.00196443	0.000823011	0.000823011	0.00082335	0.00108239
41	3	2,643.4	0.0011349	0.000655236	0.000234044	0.00331667	-0.000149337	0.00241914	0.00113426	0.00113426	0.0011349	0.0011869
42	8	2,856.5	0.00280063	0.000990172	0.00120911	0.00551836	0.000859928	0.00474133	0.00279671	0.00279671	0.00280063	0.00130405
43	7	3,065.1	0.00228378	0.000863186	0.000918196	0.00470545	0.000591962	0.00397559	0.00228117	0.00228117	0.00228378	0.00143473
44	8	3,265.2	0.00245008	0.000866234	0.00105777	0.00482763	0.000752292	0.00414787	0.00244708	0.00244708	0.00245008	0.00158075
45	9	3,453.2	0.00260628	0.000868759	0.00119176	0.00494753	0.000903541	0.00430902	0.00260288	0.00260289	0.00260628	0.00174122
46	7	3,625.3	0.00193087	0.000729802	0.000776312	0.00397834	0.000500489	0.00336126	0.00192901	0.00192901	0.00193087	0.00191794
47	9	3,777.8	0.00238234	0.000794113	0.00108936	0.00452242	0.000825906	0.00393877	0.0023795	0.0023795	0.00238234	0.00211002
48	9	3,907.7	0.00230315	0.000767715	0.00105314	0.00437209	0.000798451	0.00380784	0.00230049	0.0023005	0.00230315	0.00231748
49	12	4,011.8	0.00299118	0.000863478	0.00154558	0.00522498	0.00129879	0.00468356	0.00298671	0.00298671	0.00299118	0.00254303
50	9	4,088	0.00220157	0.000733855	0.0010067	0.00417926	0.000763236	0.0036399	0.00219914	0.00219914	0.00220157	0.00278758
51	13	4,134.4	0.00314435	0.000872086	0.00167423	0.00537693	0.00143509	0.00485361	0.00313941	0.00313941	0.00314435	0.00305566
52	11	4,150	0.0026506	0.000799187	0.00132317	0.00474266	0.00108423	0.00421698	0.00264709	0.00264709	0.0026506	0.00335271
53	12	4,134.4	0.00290248	0.000837873	0.00149975	0.00507004	0.00126028	0.00454468	0.00289827	0.00289827	0.00290248	0.00368508
54	21	4,088	0.00513699	0.00112098	0.00317988	0.00785243	0.0029399	0.00733407	0.00512381	0.00512383	0.00513699	0.00405732
55	15	4,011.8	0.00373897	0.000965398	0.00209267	0.00616686	0.00184682	0.00563112	0.00373199	0.00373199	0.00373897	0.00447309
56	21	3,907.7	0.00537401	0.0011727	0.00332659	0.00821474	0.00307555	0.00767246	0.00535959	0.0053596	0.00537401	0.00493335
57	20	3,777.8	0.00529409	0.00118379	0.00323377	0.00817629	0.00297389	0.00761428	0.0052801	0.00528011	0.00529409	0.00543635
58	22	3,625.3	0.00606846	0.0012938	0.00380307	0.00918773	0.00353266	0.00860427	0.00605009	0.00605011	0.00606846	0.00598125
59	27	3,453.2	0.00781883	0.00150474	0.00515266	0.011376	0.00486961	0.0107681	0.00778835	0.00778839	0.00781883	0.00656359
60	24	3,265.2	0.00735024	0.00150036	0.00470944	0.0109366	0.00440958	0.0102909	0.00732329	0.00732332	0.00735024	0.00718253
61	20	3,065.1	0.00652507	0.00145905	0.00398568	0.0100774	0.00366539	0.00938476	0.00650383	0.00650385	0.00652507	0.00784177
62	15	2,856.5	0.00525118	0.00135585	0.00293905	0.00866103	0.00259377	0.0079086	0.00523742	0.00523743	0.00525118	0.00854682
63	23	2,643.4	0.00870092	0.00181427	0.00551563	0.0130556	0.00514502	0.0122568	0.00866317	0.00866323	0.00870092	0.00931142
64	25	2,429.1	0.0102919	0.00205838	0.00666036	0.0151928	0.00625754	0.0143262	0.0102391	0.0102392	0.0102919	0.0101511
65	26	2,217.1	0.011727	0.00229986	0.00766049	0.0171828	0.00721939	0.0162347	0.0116585	0.0116587	0.011727	0.011088
66	19	2,010.2	0.0094518	0.00216839	0.0056906	0.0147602	0.00520183	0.0137018	0.00940727	0.00940734	0.0094518	0.0121461
67	23	1,810.9	0.0127009	0.00264831	0.00805126	0.0190575	0.00751027	0.0178915	0.0126206	0.0126207	0.0127009	0.0133539
68	24	1,621.5	0.0148011	0.00302126	0.00948335	0.0220229	0.00887954	0.0207227	0.0146921	0.0146924	0.0148011	0.0147394
69	25	1,443.5	0.017319	0.0034638	0.011208	0.0255663	0.0105301	0.0241079	0.0171699	0.0171703	0.017319	0.0163372
70	22	1,278.3	0.0172104	0.00366926	0.0107856	0.0260567	0.0100187	0.024402	0.0170631	0.0170635	0.0172104	0.0181814
71	18	1,126.4	0.0159801	0.00376655	0.00947083	0.0252555	0.00859781	0.0233624	0.0158531	0.0158534	0.0159801	0.0203109
72	27	988.4	0.0273169	0.00525714	0.018002	0.0397446	0.0170131	0.0376207	0.0269471	0.0269488	0.0273169	0.022769
73	25	864.4	0.0289218	0.00578436	0.0187167	0.0426943	0.0175847	0.0402589	0.0285076	0.0285095	0.0289218	0.0256024
74	19	753.9	0.0252023	0.0057818	0.0151734	0.0393565	0.0138702	0.0365344	0.0248874	0.0248887	0.0252023	0.028868
75	21	656.6	0.0319829	0.00697925	0.0197979	0.0488893	0.0183039	0.045662	0.0314769	0.0314795	0.0319829	0.0326268
76	20	571.6	0.0349895	0.00782389	0.0213725	0.0540384	0.019655	0.050324	0.0343844	0.0343879	0.0349895	0.0369506
77	23	498.2	0.0461662	0.00962632	0.0292654	0.069272	0.027299	0.0650334	0.0451168	0.0451246	0.0461662	0.0419172
78	11	435.3	0.0252699	0.00761917	0.0126147	0.0452149	0.0103366	0.0402032	0.0249533	0.0249546	0.0252699	0.0476162
79	29	381.9	0.0759361	0.014101	0.0508556	0.109057	0.0482987	0.103574	0.0731246	0.0731584	0.0759361	0.0541465
80	20	337.1	0.0593296	0.0132665	0.03624	0.0916297	0.0333277	0.0853314	0.0576039	0.0576203	0.0593296	0.0616163
81	25	299.7	0.0834168	0.0166834	0.0539829	0.12314	0.050718	0.116116	0.0800323	0.0800769	0.0834168	0.0705291
82	19	268.9	0.0706582	0.0162101	0.0425409	0.110342	0.038887	0.102429	0.0682197	0.0682471	0.0706582	0.078772
83	20	243.7	0.0820681	0.018351	0.0501293	0.126748	0.0461008	0.118035	0.0787908	0.0788333	0.0820681	0.0878703
84	17	223.3	0.0761308	0.0184644	0.044349	0.121893	0.0399412	0.11232	0.073305	0.0733391	0.0761308	0.0978854
85	24	206.8	0.116054	0.0236895	0.0743581	0.172679	0.0696237	0.162485	0.109573	0.109689	0.116054	0.108881
86	24	193.7	0.123903	0.0252916	0.079387	0.184358	0.0743324	0.173474	0.116534	0.116675	0.123903	0.120912
87	18	183.4	0.0981461	0.0231333	0.0581676	0.155113	0.0528058	0.143486	0.0934836	0.0935551	0.0981461	0.134032
88	38	175.3	0.216771	0.0351649	0.1534	0.297535	0.147849	0.285693	0.194886	0.195574	0.216771	0.148287
89	20	169	0.118343	0.0264623	0.0722871	0.182771	0.066478	0.170208	0.111609	0.111732	0.118343	0.16371
90	31	164.2	0.188794	0.0339084	0.128276	0.267978	0.122335	0.255253	0.172043	0.17251	0.188794	0.180324

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：D = 10、E^c = 1000，μ̂ = 0.01，标准误 √(0.01/1000)，q̂ = 1 − e^{−0.01}；4/(500 + 2) = 0.007968；合计 39/3500

参数置信水平 0.95数据自己输入死亡人数 D_x 3 个数中心暴露数 E^c_x 3 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
合计的 μ̂mu_all	0.011142857	0.011142857
μ̂ = D/E^c表 rates · 第 1 行	0.01	0.01
q̂ = 1 − e^{−μ̂}表 rates · 第 1 行	0.0099501663	0.0099501663
标准误表 rates · 第 1 行	0.0031622777	0.0031622777
二项 q̂ = D/(E^c + D/2)表 rates · 第 3 行	0.0079681275	0.0079681275

允许误差 1×10⁻¹² + 1×10⁻⁹×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
Garwood (1936) 精确区间手算：χ²_{20, 0.025}/2 = 4.7954，χ²_{22, 0.975}/2 = 18.3904（χ² 分布表），除以 E^c = 1000
参数置信水平 0.95数据自己输入死亡人数 D_x 1 个数中心暴露数 E^c_x 1 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
0.95 精确上限表 rates · 第 1 行 0.0183904 0.018390356
0.95 精确下限表 rates · 第 1 行 0.0047954 0.0047953887
允许误差 5×10⁻⁷

项	标准答案	平台算出
0.95 精确上限表 rates · 第 1 行	0.0183904	0.018390356
0.95 精确下限表 rates · 第 1 行	0.0047954	0.0047953887

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行989 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import exposure34result = exposure.crude_rates(5    data="demo",6    deaths=[10, 25, 4],7    exposures=[1000, 2000, 500],8    age_from=30,9    conf=0.95,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物第 6、7 章两状态模型和泊松模型
Garwood (1936) Fiducial limits for the Poisson distribution

覆盖的考试公式

GRD-001中心死亡率CS2
GRD-005常数死亡力的 MLE 与泊松模型CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

泊松模型（常数死亡力）下的最大似然估计 μ̂ = D/E^c、标准误、精确（Garwood）和正态近似的置信区间；换算成一年死亡概率 q̂ = 1 − e^{−μ̂}；二项模型的 q̂ = D/(E^c + D/2)；中心死亡率 m_x。默认是演示数据。

说明和限制

两状态模型和泊松模型给出相同的 μ̂ = D/E^c；方差 μ/E^c 用 μ̂ 代入。
q̂ = 1 − e^{−μ̂} 假设年内死亡力不变；q̂ = D/(E^c + D/2) 是二项模型用近似的初始暴露数。
死亡人数是 0 时，精确区间的下限是 0，正态近似的区间没有意义。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每个年龄死了几个人、暴露数多少，死亡率估计多少？误差多大？”