死亡率修匀

各年龄的粗死亡率高低不平，怎么修成一条光滑、又和经验相符的死亡率曲线？

IFoA CS2

公式

\displaystyle \text{GM}(r,s)：\mu_x=\sum_{i<r}a_iu^i+\exp\Big(\sum_{j<s}b_ju^j\Big)

\displaystyle \mathring\mu_x=f(\mu^s_x)

\displaystyle \text{WH}：\min\sum_xw_x(g_x-\ln\hat\mu_x)^2+h\sum(\Delta^zg_x)^2

\displaystyle \mu_x=\alpha_0+\alpha_1x+\sum_j\beta_j\phi_j(x)

\displaystyle \ln E[D_x]=\ln E^c_x+\sum_j\theta_jB_j(x),\ \ell_p(\theta)=\ell(\theta)-\tfrac{\lambda}{2}\theta^\top\Delta_2^\top\Delta_2\theta

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

修匀方法

数据

GM(r, s) 的 r

多项式项数

GM(r, s) 的 s

指数里的项数

当前选项用不到的 9 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

演示数据，不是真实数据

演示数据，不是真实数据：按第四套生命表（CL2 男）死亡率的 90% 和合成的暴露数，用固定种子模拟的死亡人数

insured-life-mortality-2025

输出

用时 1.0 秒 · 11/14 22:26 运行

χ²: 56.3367
自由度: 58
χ² 检验的 p 值: 0.537382
参数个数（或有效自由度）: 3
累积偏差检验的 p 值: 1
滞后 1 的序列相关: -0.107243

粗死亡率和修匀后的死亡率（对数刻度）

粗死亡率
Gompertz-Makeham 公式 GM(r, s)（泊松最大似然）
真实 μ（模拟用）

纵轴：μ

GM(1, 2)：3 个参数。

修匀前后的死亡率graduated61 行 · 8 列

结果表修匀前后的死亡率
年龄	死亡 D	中心暴露 E^c	粗死亡率 D/E^c	修匀后的 μ	修匀后的 q = 1 − e^{−μ}	标准化偏差 z	模拟用的真实 μ
30	1	753.9	0.00132644	0.00102281	0.00102229	0.260671	0.00052844
31	3	864.4	0.00347062	0.00104549	0.00104495	2.20511	0.000553653
32	0	988.4	0	0.00107092	0.00107035	-1.02884	0.00058247
33	2	1,126.4	0.00177557	0.00109944	0.00109884	0.684363	0.00061669
34	0	1,278.3	0	0.00113143	0.00113079	-1.20262	0.000657216
35	0	1,443.5	0	0.00116729	0.00116661	-1.29807	0.000705849
36	0	1,621.5	0	0.00120751	0.00120678	-1.39928	0.000762591
37	0	1,810.9	0	0.00125261	0.00125182	-1.5061	0.000829244
38	2	2,010.2	0.000994926	0.00130318	0.00130234	-0.382853	0.000904008
39	2	2,217.1	0.000902079	0.0013599	0.00135898	-0.584567	0.000987788
40	2	2,429.1	0.00082335	0.0014235	0.00142249	-0.783978	0.00108239
41	3	2,643.4	0.0011349	0.00149482	0.00149371	-0.478623	0.0011869
42	8	2,856.5	0.00280063	0.0015748	0.00157356	1.65095	0.00130405
43	7	3,065.1	0.00228378	0.00166449	0.00166311	0.84037	0.00143473
44	8	3,265.2	0.00245008	0.00176507	0.00176351	0.931687	0.00158075
45	9	3,453.2	0.00260628	0.00187786	0.0018761	0.987782	0.00174122
46	7	3,625.3	0.00193087	0.00200434	0.00200233	-0.0988017	0.00191794
47	9	3,777.8	0.00238234	0.00214617	0.00214387	0.31333	0.00211002
48	9	3,907.7	0.00230315	0.00230523	0.00230257	-0.0027119	0.00231748
49	12	4,011.8	0.00299118	0.00248359	0.00248051	0.645117	0.00254303
50	9	4,088	0.00220157	0.00268361	0.00268001	-0.594949	0.00278758
51	13	4,134.4	0.00314435	0.0029079	0.00290368	0.281935	0.00305566
52	11	4,150	0.0026506	0.00315943	0.00315444	-0.583164	0.00335271
53	12	4,134.4	0.00290248	0.00344149	0.00343558	-0.590791	0.00368508
54	21	4,088	0.00513699	0.0037578	0.00375074	1.43851	0.00405732
55	15	4,011.8	0.00373897	0.0041125	0.00410405	-0.368927	0.00447309
56	21	3,907.7	0.00537401	0.00451026	0.00450011	0.803978	0.00493335
57	20	3,777.8	0.00529409	0.00495631	0.00494405	0.294893	0.00543635
58	22	3,625.3	0.00606846	0.00545652	0.00544166	0.498803	0.00598125
59	27	3,453.2	0.00781883	0.00601744	0.00599937	1.36463	0.00656359
60	24	3,265.2	0.00735024	0.00664646	0.00662442	0.493281	0.00718253
61	20	3,065.1	0.00652507	0.00735185	0.00732489	-0.533839	0.00784177
62	15	2,856.5	0.00525118	0.00814286	0.0081098	-1.71269	0.00854682
63	23	2,643.4	0.00870092	0.00902991	0.00898926	-0.178002	0.00931142
64	25	2,429.1	0.0102919	0.0100246	0.00997456	0.131549	0.0101511
65	26	2,217.1	0.011727	0.0111401	0.0110783	0.261825	0.011088
66	19	2,010.2	0.0094518	0.012391	0.0123146	-1.18386	0.0121461
67	23	1,810.9	0.0127009	0.0137938	0.0136991	-0.396007	0.0133539
68	24	1,621.5	0.0148011	0.0153669	0.0152494	-0.183782	0.0147394
69	25	1,443.5	0.017319	0.0171309	0.016985	0.0546043	0.0163372
70	22	1,278.3	0.0172104	0.0191091	0.0189277	-0.49109	0.0181814
71	18	1,126.4	0.0159801	0.0213274	0.0211016	-1.22889	0.0203109
72	27	988.4	0.0273169	0.0238151	0.0235337	0.7134	0.022769
73	25	864.4	0.0289218	0.0266047	0.0262539	0.41766	0.0256024
74	19	753.9	0.0252023	0.029733	0.0292953	-0.721446	0.028868
75	21	656.6	0.0319829	0.0332411	0.0326946	-0.17682	0.0326268
76	20	571.6	0.0349895	0.037175	0.0364925	-0.271	0.0369506
77	23	498.2	0.0461662	0.0415865	0.0407337	0.501259	0.0419172
78	11	435.3	0.0252699	0.0465336	0.0454675	-2.0566	0.0476162
79	29	381.9	0.0759361	0.0520812	0.0507482	2.04273	0.0541465
80	20	337.1	0.0593296	0.0583023	0.0566353	0.0781109	0.0616163
81	25	299.7	0.0834168	0.0652787	0.0631936	1.22899	0.0705291
82	19	268.9	0.0706582	0.073102	0.0704939	-0.148211	0.078772
83	20	243.7	0.0820681	0.081875	0.0786128	0.010538	0.0878703
84	17	223.3	0.0761308	0.091713	0.087633	-0.76888	0.0978854
85	24	206.8	0.116054	0.102745	0.0976433	0.59708	0.108881
86	24	193.7	0.123903	0.115117	0.108738	0.360396	0.120912
87	18	183.4	0.0981461	0.128991	0.121018	-1.16305	0.134032
88	38	175.3	0.216771	0.144549	0.134587	2.51512	0.148287
89	20	169	0.118343	0.161995	0.149555	-1.40992	0.16371
90	31	164.2	0.188794	0.18156	0.166031	0.217565	0.180324

修匀检验tests11 行 · 5 列

结果表修匀检验
检验	统计量	参照分布	p 值	结论
χ² 检验（整体拟合）	56.3367	χ²(58)	0.537382	通过
标准化偏差的分布（6 组）	4.81448	χ²(5)	0.438939	通过
个别偏差：\|z\| > 2 的个数（期望约 5%）	4	期望 2.78	0.301399	通过
个别偏差：\|z\| > 3 的个数	0	应为 0	—	—
符号检验：正偏差的个数	30	Bin(61, 1/2)	1	通过
符号分组检验：正偏差的段数（精确，单侧）	17	n₁ = 30，n₂ = 31	0.816837	通过
符号分组检验（正态近似，连续性修正）	17	N(15.738, 3.810)	0.816683	通过
序列相关检验：滞后 1 的相关系数（单侧）	-0.107243	r√m ~ N(0, 1)	0.79887	通过
序列相关检验：滞后 2 的相关系数（单侧）	0.241758	r√m ~ N(0, 1)	0.0294999	不通过（5% 水平）
序列相关检验：滞后 3 的相关系数（单侧）	-0.0284738	r√m ~ N(0, 1)	0.587994	通过
累积偏差检验	5.28×10⁻⁷	N(0, 1)，双侧	1	通过

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02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式答案：死亡人数正好等于 E·Bc^x（B = 0.0001、c = 1.1，没有随机波动），Gompertz 公式 GM(0, 2) 的最大似然估计就是真实的 μ
参数第一个年龄 40 岁数据自己输入死亡人数 D_x 41 个数中心暴露数 E^c_x 41 个数修匀方法 Gompertz-Makeham 公式 GM(r, s)（泊松最大似然）GM(r, s) 的 r 0GM(r, s) 的 s 2其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=60 0.030448164 0.030448164
修匀后的 μ表 graduated · age=80 0.20484002 0.20484002
允许误差 0 + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式答案：ln μ 是年龄的线性函数时，二阶差分罚项是 0，P 样条（任意 λ）还原真实的 Gompertz μ
参数第一个年龄 40 岁数据自己输入死亡人数 D_x 41 个数中心暴露数 E^c_x 41 个数P 样条的罚项 λ 1,000修匀方法 P 样条（B 样条加差分罚项，泊松）其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=55 0.018905914 0.018905914
允许误差 0 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式答案：自然三次样条的基包含 1 和 x，ln μ 线性时泊松最大似然还原真实的 μ
参数第一个年龄 40 岁数据自己输入死亡人数 D_x 41 个数中心暴露数 E^c_x 41 个数样条的节点个数 5修匀方法自然三次样条（ln μ，泊松最大似然）其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=47 0.0088197485 0.0088197485
允许误差 0 + 1×10⁻⁷×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式：μ̊ = kμ^s 的泊松最大似然 k = ΣD/ΣE^cμ^s（μ^s = −ln(1 − q^s)，第四套 CL2 男表 30–34 岁）
参数第一个年龄 30 岁数据自己输入死亡人数 D_x 5 个数中心暴露数 E^c_x 5 个数修匀方法参照标准表：μ̊ = k·μ^s标准表第四套非养老类业务一表（男）其余用默认值
项标准答案平台算出
k 16.353577 16.353577
修匀后的 μ表 graduated · age=32 0.010584189 0.010584189
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式答案：h = 0 时 Whittaker-Henderson 不修匀，等于粗死亡率 D/E^c
参数数据自己输入死亡人数 D_x 5 个数中心暴露数 E^c_x 5 个数Whittaker-Henderson 的光滑参数 h 0修匀方法 Whittaker-Henderson（对 ln μ̂）Whittaker-Henderson 的差分阶数 z 2其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 1 行 0.006 0.006
修匀后的 μ表 graduated · 第 4 行 0.013333333 0.013333333
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式答案：h → ∞、z = 2 时修匀值趋于 ln μ̂ 的加权（权重 D）直线回归，用 numpy.polyfit 独立算
参数数据自己输入死亡人数 D_x 5 个数中心暴露数 E^c_x 5 个数Whittaker-Henderson 的光滑参数 h 10,000 万修匀方法 Whittaker-Henderson（对 ln μ̂）Whittaker-Henderson 的差分阶数 z 2其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 1 行 0.0064197428 0.0064197427
修匀后的 μ表 graduated · 第 5 行 0.016833237 0.016833237
允许误差 0 + 0.00001×|答案|
第 7 条
平台算出的数对得上
闭式答案：带宽远小于 1 年时核平滑等于粗死亡率
参数核平滑的带宽 0.1数据自己输入死亡人数 D_x 5 个数中心暴露数 E^c_x 5 个数修匀方法核平滑（高斯核）其余用默认值
项标准答案平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 2 行 0.0085714286 0.0085714286
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=60	0.030448164	0.030448164
修匀后的 μ表 graduated · age=80	0.20484002	0.20484002

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=55	0.018905914	0.018905914

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · age=47	0.0088197485	0.0088197485

项	标准答案	平台算出
k	16.353577	16.353577
修匀后的 μ表 graduated · age=32	0.010584189	0.010584189

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 1 行	0.006	0.006
修匀后的 μ表 graduated · 第 4 行	0.013333333	0.013333333

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 1 行	0.0064197428	0.0064197427
修匀后的 μ表 graduated · 第 5 行	0.016833237	0.016833237

项	标准答案	平台算出
修匀后的 μ表 graduated · 第 2 行	0.0085714286	0.0085714286

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行1.0 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.mortality import graduation34result = graduation.graduation(5    method="gm",6    data="demo",7    deaths=[12, 30, 18, 40, 25],8    exposures=[2000, 3500, 1800, 3000, 1500],9    age_from=30,10    r=1,11    s=2,12    standard="2025-CL2-M",13    h=100,14    z=3,15    knots=5,16    bandwidth=3,17    lam=100,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

IFoA CS2 核心读物第 11 章修匀
Forfar、McCutcheon、Wilkie (1988) On graduation by mathematical formula
Eilers、Marx (1996) Flexible smoothing with B-splines and penalties
Currie、Durban、Eilers (2004) Smoothing and forecasting mortality rates

覆盖的考试公式

GRD-010修匀方法：参数公式、参照标准表与自然三次样条CS2
GRD-013年龄-时期-队列扩展与样条死亡率预测CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对死亡人数和中心暴露数修匀：Gompertz-Makeham 公式 GM(r, s)、参照标准表（比例或线性）、Whittaker-Henderson、自然三次样条、核平滑、P 样条。给出修匀后的 μ 和 q，和粗死亡率对比的图，以及 χ² 等修匀检验的摘要（完整的检验用 mortality.graduation_tests）。默认是演示数据。

说明和限制

GM(r, s) 的年龄先标准化到 [−1, 1]，参数是对标准化年龄的系数。
Whittaker-Henderson 对 ln μ̂ 做，权重是死亡人数（ln μ̂ 的方差约 1/D）；死亡人数是 0 的年龄权重 0。
χ² 检验的自由度扣掉参数个数；样条、核平滑、Whittaker-Henderson、P 样条按光滑矩阵的迹（有效自由度）扣。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

死亡率修匀与预测，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“各年龄的粗死亡率高低不平，怎么修成一条光滑、又和经验相符的死亡率曲线？”