Tweedie 分布（复合泊松-伽马） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

输入方式

均值 μ元

每张保单的纯保费

0 元100,000 万元

离散参数 φ

0100,000 万

幂 p

1 < p < 2

1.051.99

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 822 毫秒 · 11/14 22:25 运行

均值 μ: 300元
离散参数 φ: 200
幂 p: 1.6
出险次数的均值 λ: 0.122394次
单次损失伽马的 α: 0.666667
单次损失伽马的 θ: 3,676.66元
没有赔付的概率 P(S = 0): 88.48%
方差 φμ^p: 183.8 万元²
标准差: 1,355.85元

S > 0 部分的密度

纵轴：密度

在 0 处有 0.8848 的概率质量（没有出险），密度图只画 S > 0 的部分。
分位数由级数的分布函数 F(s) = e^{−λ} + Σ Poi(n)·Γ(s; nα, θ) 求根得到（鞍点近似时由密度积分得到）。

密度：本方法和开源库对照density4 行 · 3 列

结果表密度：本方法和开源库对照
s	密度（本方法，级数求和）	密度（开源库 tweedie）
1	0.00033576	0.00033576
300	0.00004703	0.00004703
2,451.11	0.00001371	0.00001371
3,011.7	0.00001111	0.00001111

Tweedie 分布的分位数quantiles5 行 · 2 列

结果表 Tweedie 分布的分位数
概率水平	分位数（元）
0.5	0
0.9	168.936
0.95	1,892.45
0.99	7,068.93
0.995	9,448.76

开源库tweedie0.0.9· BSD scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（LDA 7.3.4 的换算公式）：μ = φ = 1，p = 1.5 时 λ = 1/0.5 = 2，α = 0.5/0.5 = 1，θ = 0.5，P(S = 0) = e^{−2}，Var = φμ^p = 1
参数输入方式 Tweedie 参数（均值 μ、离散参数 φ、幂 p）均值 μ 1 元幂 p 1.5离散参数 φ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
单次损失伽马的 αalpha 1 1
出险次数的均值 λlam 2 2
没有赔付的概率 P(S = 0)p0 0.13533528 0.13533528
单次损失伽马的 θtheta 0.5 0.5
方差 φμ^pvar 1 1
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：α = 1 时单次损失是指数分布，复合泊松-指数的密度 f(s) = e^{−λ−s/θ}√(λ/(sθ))·I₁(2√(λs/θ))；λ = 2、θ = 0.5、s = 1 时为 2e^{−4}I₁(4) = 0.357502
参数输入方式 Tweedie 参数（均值 μ、离散参数 φ、幂 p）均值 μ 1 元幂 p 1.5离散参数 φ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
密度（本方法，级数求和）表 density · 第 2 行 0.35750168 0.35750168
说明：开源库 tweedie 给出同一个数（0.357502），见结果里的对照列
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	平台算出
单次损失伽马的 αalpha	1	1
出险次数的均值 λlam	2	2
没有赔付的概率 P(S = 0)p0	0.13533528	0.13533528
单次损失伽马的 θtheta	0.5	0.5
方差 φμ^pvar	1	1

项	标准答案	平台算出
密度（本方法，级数求和）表 density · 第 2 行	0.35750168	0.35750168

第 3 条

平台算出的数对得上

独立核对：同一个复合泊松-指数分布（λ = 2、θ = 0.5），用上面的贝塞尔函数闭式密度做数值积分（scipy quad）得到 F，再求根：50%、90%、99% 分位数 = 0.734703、2.364205、4.311284

参数输入方式 Tweedie 参数（均值 μ、离散参数 φ、幂 p）均值 μ 1 元幂 p 1.5离散参数 φ 1其余用默认值

项	标准答案	平台算出
分位数（元）表 quantiles · 第 1 行	0.73470293	0.73470293
分位数（元）表 quantiles · 第 2 行	2.3642055	2.3642055
分位数（元）表 quantiles · 第 4 行	4.311284	4.311284

允许误差 0 + 1×10⁻⁸×|答案|

第 4 条
平台算出的数对得上
手算：μ = λαθ = 300，p = (α + 2)/(α + 1) = 1.4，Var = λα(1 + α)θ² = 1,500,000
参数单次损失伽马分布的 α 1.5输入方式复合泊松-伽马（λ、伽马 α、θ）泊松的 λ 0.1 次单次损失伽马分布的 θ 2,000 元其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 μmu 300 300
幂 pp 1.4 1.4
方差 φμ^pvar 1,500,000 1,500,000
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

项	标准答案	平台算出
均值 μmu	300	300
幂 pp	1.4	1.4
方差 φμ^pvar	1,500,000	1,500,000

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行822 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import tweedie_cp34result = tweedie_cp.tweedie_cp(5    input="tweedie",6    mu=300,7    phi=200,8    p=1.6,9    lam=0.1,10    alpha=1.5,11    theta=2000,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库tweedie0.0.9· BSD scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.3.4 Tweedie Distribution
Jørgensen 1987, Exponential dispersion models（JRSS B 49:127–162）复合泊松的 Tweedie 分布

这个方法算什么

1 < p < 2 的 Tweedie 分布是复合泊松-伽马分布。在 (μ, φ, p) 和 (λ, α, θ) 之间换算，算 P(S = 0)、均值、方差、密度和分位数，并和开源库 tweedie 对照。

说明和限制

p → 1 时接近泊松（单次损失固定），p → 2 时接近伽马（几乎总有赔付）。
广义线性模型里 φ 对所有保单相同，μ 随风险因子变化。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

tweedie0.0.9BSD费率厘定：Tweedie 分布的密度和似然
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“Tweedie 模型的 μ、φ、p 对应多少出险次数、多大的单次损失？没有赔付的概率多大？”