单次损失分布的离散化 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

步长 h元

0 元100,000 万元

格点数

44,096

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：指数分布 θ = 10

输出

用时 916 毫秒 · 11/14 22:25 运行

真实的均值 E[X]: 10元
取整法的均值: 9.98328元
矩匹配法的均值: 9.99992元
真实的二阶矩 E[X²]: 200元²
取整法的二阶矩: 200.313元²
矩匹配法的二阶矩: 200.647元²
超过最后一个格点的概率: 0%

两种离散化的格点概率

取整法
矩匹配法

纵轴：概率

最后一个格点以外还有 7.50e-06 的概率，合并在最后一个格点上。加大格点数或步长。

各格点的概率：取整法和矩匹配法points60 行 · 3 列

结果表各格点的概率：取整法和矩匹配法
格点（元）	取整法的概率	矩匹配法的概率
0	0.0951626	0.0936538
2	0.164019	0.164293
4	0.134288	0.134511
6	0.109945	0.110129
8	0.0900156	0.0901657
10	0.0736986	0.0738215
12	0.0603393	0.0604399
14	0.0494016	0.049484
16	0.0404466	0.0405141
18	0.0331149	0.0331701
20	0.0271122	0.0271574
22	0.0221976	0.0222346
24	0.0181738	0.0182041
26	0.0148795	0.0149043
28	0.0121823	0.0122026
30	0.00997402	0.00999065
32	0.00816603	0.00817965
34	0.00668578	0.00669693
36	0.00547386	0.00548298
38	0.00448162	0.00448909
40	0.00366924	0.00367535
42	0.00300412	0.00300913
44	0.00245956	0.00246366
46	0.00201372	0.00201708
48	0.00164869	0.00165144
50	0.00134984	0.00135209
52	0.00110515	0.001107
54	0.000904822	0.000906331
56	0.000740806	0.000742041
58	0.000606521	0.000607532
60	0.000496577	0.000497405
62	0.000406563	0.000407241
64	0.000332866	0.000333421
66	0.000272527	0.000272982
68	0.000223126	0.000223499
70	0.000182681	0.000182985
72	0.000149566	0.000149816
74	0.000122454	0.000122659
76	0.000100257	0.000100424
78	0.00008208	0.00008222
80	0.0000672	0.00006732
82	0.00005502	0.00005511
84	0.00004505	0.00004512
86	0.00003688	0.00003694
88	0.0000302	0.00003025
90	0.00002472	0.00002476
92	0.00002024	0.00002028
94	0.00001657	0.0000166
96	0.00001357	0.00001359
98	0.00001111	0.00001113
100	0.000009095	0.00000911
102	0.000007446	0.000007459
104	0.000006097	0.000006107
106	0.000004992	0.000005
108	0.000004087	0.000004094
110	0.000003346	0.000003351
112	0.000002739	0.000002744
114	0.000002243	0.000002247
116	0.000001836	0.000001839
118	0.000008294	0.000008308

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算（闭式公式）：Exp(10)，h = 1。取整法 f₀ = 1 − e^{−0.05}，f₁ = e^{−0.05} − e^{−0.15}；矩匹配 f₀ = 1 − E[X∧1]，f₁ = 2E[X∧1] − E[X∧0] − E[X∧2]，E[X∧t] = 10(1 − e^{−t/10})

参数步长 h 1 元格点数 200单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 10 元其余用默认值

项	标准答案	平台算出
矩匹配法的概率表 points · 第 1 行	0.04837418	0.04837418
取整法的概率表 points · 第 1 行	0.048770575	0.048770576
矩匹配法的概率表 points · 第 2 行	0.09055917	0.09055917
取整法的概率表 points · 第 2 行	0.090521448	0.090521448

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
局部矩匹配保持均值（Loss Models 第 9.6.5 节）：Gamma(2, 50) 的均值 100；格点到 1995，尾部概率小于 1e−15
参数形状参数 α 2步长 h 5 元格点数 400单次损失的分布伽马分布 Gamma(α, θ)尺度参数 θ 50 元其余用默认值
项标准答案平台算出
矩匹配法的均值mean_moment 100 100
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
矩匹配法的均值mean_moment	100	100

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行916 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import discretize34result = discretize.discretize(5    sev_dist="exponential",6    theta=10,7    alpha=2,8    gamma=1,9    h=2,10    n=60,11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.4.1 Recursive Method
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.6.5 节 Discretization of the severity distribution

覆盖的考试公式

AGG-006严重度离散化（取整法与保均值法）FAMASTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

取整法：每个格点取左右各半个步长的概率。局部矩匹配法：按有限期望值分配概率，保持均值。列出两种做法的格点概率、均值和二阶矩的误差。

说明和限制

最后一个格点放剩下的全部概率（尾部合在一起），所以格点要盖住分布的大部分。
局部矩匹配的格点在 [0, (n−1)h] 内保持均值；尾部合并会改变均值，表里写明。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“连续的损失分布怎样放到等距的格点上，才能用 Panjer 递推或 FFT？两种做法差多少？”