总损失的正态、对数正态和平移伽马近似

只知道总损失的均值、方差和偏度，超过某个金额的概率、99.5% 分位数大约是多少？各种近似差多少？

SOA FAMSOA ASTAMIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

公式

\displaystyle F_S(x)\approx\Phi\Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big)

\displaystyle S\approx k+Y,\ Y\sim\mathrm{Gamma}(\alpha,\theta):\ \alpha=\frac4{\gamma^2},\ \theta=\frac{\sigma\gamma}2,\ k=\mu-\frac{2\sigma}{\gamma}

\displaystyle \ln S\sim N\Big(\ln\mu-\tfrac{s^2}2,\ s^2=\ln(1+\sigma^2/\mu^2)\Big)

\displaystyle \text{NP: }F_S(x)\approx\Phi\Big(-\tfrac3\gamma+\sqrt{\tfrac9{\gamma^2}+1+\tfrac{6y}\gamma}\Big),\ y=\frac{x-\mu}\sigma

对过的标准答案: 5 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 15 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

输入方式

出险次数的分布

泊松 Poi(λ)负二项 NB(r, β)二项 Bin(m, q)

泊松的 λ次

均值

0 次5,000 次

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

要查的总损失 s元

算 P(S > s)

0 元100,000,000 万元

当前选项用不到的 8 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：出险次数泊松 λ = 25；单次损失伽马分布 α = 2，θ = 25

输出

用时 925 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:25 运行

均值 μ: 1,250元
标准差 σ: 306.186元
偏度 γ: 0.326599
正态近似 P(S > 2000): 0.00715294

各种近似的超越概率

正态
对数正态（矩匹配）
平移伽马
正态幂（NP2）
精确（Panjer）

纵轴：P(S > s)

各近似的尾部概率和分位数approx5 行 · 6 列

结果表各近似的尾部概率和分位数
近似	标识	P(S > 2000)	95% 分位数	99% 分位数	99.5% 分位数
正态	normal	0.00715294	1,753.63	1,962.3	2,038.68
对数正态（矩匹配）	lognormal	0.0193308	1,805.9	2,128.81	2,260.96
平移伽马	tgamma	0.0126876	1,780.42	2,034.82	2,132.14
正态幂（NP2）	np	0.0127876	1,782.06	2,035.83	2,132.6
精确（Panjer）	exact	0.0125903	1,781	2,033	2,130

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.5：均值 80,000，标准差约 32,000，P(S > 1.5E[S]) = 1 − Φ(1.25) = 0.1056
参数总损失的均值 μ 8 万元输入方式直接给均值、标准差、偏度要查的总损失 s 12 万元总损失的标准差 σ 3.2 万元总损失的偏度 γ 0其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal 0.1056 0.10564975
说明：书中取 4 位，误差放到 5e−5
允许误差 0.00005
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.6 的解答：Poi(25)、U(5, 95)，E = 1,250，Var = 79,375，P(S > 2,000) = 0.003884
参数总损失的均值 μ 1,250 元输入方式直接给均值、标准差、偏度要查的总损失 s 2,000 元总损失的标准差 σ 281.7357 元总损失的偏度 γ 0其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal 0.003884 0.0038830917
说明：书中把 z 取成 2.662，得到 0.003884；未取整的 z = 2.66205，P = 0.0038831，误差放到 1.5e−6。另外，例题的题目写的是 Poi(27)、U(5, 97)，解答却用了 Poi(25)、U(5, 95)。这条按解答的数字；下一条按题目的数字重新算
允许误差 0.0000015
第 3 条
平台算出的数对得上
按 Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.6 题目的数字重新算：Poi(27)、U(5, 97)，E = 1,377，Var = 27 × (92²/12 + 51²) = 89,271，P(S > 2,000) = 1 − Φ(2.0851) = 0.01853
参数总损失的均值 μ 1,377 元输入方式直接给均值、标准差、偏度要查的总损失 s 2,000 元总损失的标准差 σ 298.7825 元总损失的偏度 γ 0其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal 0.018528814 0.018528814
说明：书中题目和解答的数字不一致（见上一条）。两种算法（复合泊松 λE[X²]，和 E[N]Var(X) + Var(N)E[X]²）都得到 89,271
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
手算（闭式公式，IFoA CS2）：μ = 1000，σ = 200，γ = 0.5 时 α = 4/γ² = 16，θ = σγ/2 = 50，k = μ − 2σ/γ = 200，P(S > 1400) = P(Gamma(16, 50) > 1200) = Q(16, 24)；对数正态 s² = ln 1.04
参数总损失的均值 μ 1,000 元输入方式直接给均值、标准差、偏度要查的总损失 s 1,400 元总损失的标准差 σ 200 元总损失的偏度 γ 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=lognormal 0.036087417 0.036087417
P(S > 2000)表 approx · method=tgamma 0.034400094 0.034400094
允许误差 1×10⁻⁹
第 5 条
平台算出的数对得上
手算（复合泊松，Loss Models 第 9 章）：λ = 25，Exp(50)，E = 1,250，Var = λm₂ = 125,000，偏度 = λm₃/(λm₂)^{3/2} = 0.4243
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 25 次输入方式给出险次数和单次损失的分布（同时算精确分布）要查的总损失 s 2,000 元单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 50 元其余用默认值
项标准答案平台算出
均值 μmean 1,250 1,250
标准差 σsd 353.55339 353.55339
偏度 γskew 0.42426407 0.42426407
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal	0.1056	0.10564975

项	标准答案	平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal	0.003884	0.0038830917

项	标准答案	平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=normal	0.018528814	0.018528814

项	标准答案	平台算出
P(S > 2000)表 approx · method=lognormal	0.036087417	0.036087417
P(S > 2000)表 approx · method=tgamma	0.034400094	0.034400094

项	标准答案	平台算出
均值 μmean	1,250	1,250
标准差 σsd	353.55339	353.55339
偏度 γskew	0.42426407	0.42426407

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：15 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 21 行925 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import approximations34result = approximations.approximations(5    model="compound",6    mean=80000,7    sd=32000,8    skew=0,9    freq_dist="poisson",10    lam=25,11    r=5,12    beta=5,13    m=100,14    q=0.25,15    sev_dist="gamma",16    theta=25,17    alpha=2,18    gamma=1,19    s_query=2000,20)21print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.2.2、7.3.1 正态近似
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.3 节正态和对数正态近似
IFoA CS2 Core ReadingAggregate claims：translated gamma approximation

覆盖的考试公式

AGG-012总损失的正态近似与平移 Gamma 近似CS2SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用矩匹配的正态、对数正态、平移伽马、正态幂（NP2）近似总损失分布；给出险次数和单次损失时，同时用 Panjer 算精确分布对照。

说明和限制

正态近似对称，低估右尾。总损失偏得越厉害（次数少、单次损失重尾），正态近似越差。
平移伽马和正态幂用到偏度，右尾一般更接近精确值。偏度 ≤ 0 时它们不可用。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“只知道总损失的均值、方差和偏度，超过某个金额的概率、99.5% 分位数大约是多少？各种近似差多少？”