蒙特卡罗模拟总损失 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

出险次数的分布

泊松的 λ次

均值

0 次5,000 次

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

每次损失的免赔额元

0 元100,000 万元

每次损失的限额元

免赔额以上最多赔多少，0 表示不限

0 元1,000,000 万元

模拟次数 R次

1,000 次20 万次

其余 2 个参数

随机数种子

0214,748.36 万

要查的总损失 s元

算 P(S > s)

0 元100,000,000 万元

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数模拟：出险次数泊松 λ = 25；单次损失对数正态分布 μ = 3.689，σ = 0.8；种子 20240613

输出

用时 830 毫秒 · 11/14 22:25 运行

模拟的均值: 1,376.47元
均值的标准误差: 2.66749元
模拟的标准差: 377.24元
精确的均值: 1,377.13元
精确的标准差: 379.296元
P(S > 2000): 0.0598
这个概率的标准误差: 0.17%
99.5% VaR（模拟）: 2,499.91元
99.5% TVaR（模拟）: 2,675.61元

模拟均值的收敛

前 k 次的平均
精确均值
精确均值 + 2 倍标准误差
精确均值 − 2 倍标准误差

纵轴：元

模拟 20000 次，共抽了 499273 次损失。均值的 95% 置信区间约为 1,371.2 到 1,381.7。

模拟的 VaR 和 TVaRrisk4 行 · 4 列

结果表模拟的 VaR 和 TVaR
概率水平	VaR（元）	TVaR（元）	尾部的模拟点数
0.9	1,876.86	2,102.15	2,001
0.95	2,039.95	2,252.35	1,001
0.99	2,371.92	2,552.06	201
0.995	2,499.91	2,675.61	101

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
复合泊松的闭式矩（Loss Models 第 9 章）：Poi(25)、Exp(50)，E[S] = 1,250，Var(S) = λE[X²] = 125,000
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 25 次模拟次数 R 2 万次随机数种子 1单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 50 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精确的均值mean_exact 1,250 1,250
精确的标准差sd_exact 353.55339 353.55339
允许误差 0.000001
第 2 条
平台算出的数对得上
复合泊松的闭式均值 1,250（同上）。模拟 20,000 次的标准误差 √(125000/20000) = 2.5，允许 5 倍标准误差
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 25 次模拟次数 R 2 万次随机数种子 1单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 50 元其余用默认值
项标准答案平台算出
模拟的均值mean 1,250 1,246.4457
说明：这一条检查模拟没有偏差，误差按标准误差定，不是按教材的数字
允许误差 12.5
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：U(0, 90) 的损失扣 5 的免赔额，每次损失的期望赔付 (90 − 5)²/(2 × 90) = 40.14，乘以 λ = 25 得 1,003.5
参数每次损失的免赔额 5 元出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 25 次模拟次数 R 2 万次随机数种子 7单次损失的分布均匀分布 U(0, θ)尺度参数 θ 90 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精确的均值mean_exact 1,003.4722 1,003.4722
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
精确的均值mean_exact	1,250	1,250
精确的标准差sd_exact	353.55339	353.55339

项	标准答案	平台算出
模拟的均值mean	1,250	1,246.4457

项	标准答案	平台算出
精确的均值mean_exact	1,003.4722	1,003.4722

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：15 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 21 行830 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import simulation34result = simulation.simulation(5    freq_dist="poisson",6    lam=25,7    r=5,8    beta=5,9    m=100,10    q=0.25,11    sev_dist="lognormal",12    theta=40,13    alpha=0.8,14    gamma=1,15    deductible=0,16    limit=0,17    n_sims=20000,18    seed=20240613,19    s_query=2000,20)21print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.4.2 Simulation；第 8 章 Simulation and Resampling

这个方法算什么

先抽出险次数，再抽每次的损失（可以带每次的免赔额和限额），加起来得到总损失。给出均值、VaR、TVaR、超过某个金额的概率，以及它们的标准误差和收敛曲线。

说明和限制

同样的种子得到同样的结果。换种子会得到在标准误差范围内不同的数字。
VaR、TVaR 在尾部只靠很少的模拟点，比均值更不稳定。99.5% 的 VaR 至少要几万次模拟。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“用模拟算一年的总损失分布，结果有多准？模拟多少次才够？”