免赔额、限额以后的总赔付 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

损失次数的分布

泊松（方差 = 均值）负二项（方差 > 均值）二项（方差 < 均值）

损失次数的均值 E[N^L]次

0.001 次1,000 万次

损失次数的方差

泊松不用

0.001100,000,000 万

单次损失的分布

离散分布的取值4 个数 · 元

选离散分布时用

最小 40最大 200均值 110

1–200 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

离散分布的概率4 个数

和取值一一对应，自动归一

最小 0.25最大 0.25均值 0.25

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每次损失的免赔额 d元

0 元100,000 万元

共保比例

保险公司赔的比例

0.011

损失的通胀率 r

-0.52

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：损失次数负二项 r = 180，β = 1.66667；单次损失离散分布：40（0.25），80（0.25），120（0.25），200（0.25）

输出

用时 211 毫秒 · 11/14 22:22 运行

总赔付的均值 E[S]: 2.25 万元
总赔付的方差 Var(S): 632.3 万元²
总赔付的标准差: 2,514.46元
损失次数的均值 E[N^L]: 300次
赔付次数的均值 E[N^P]: 225次
赔付次数的方差 Var(N^P): 506.25次²
每次损失的期望赔付 E[Y^L]: 75元
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]: 100元
有赔付的概率 v: 75%

免赔额和总赔付的均值

纵轴：元

赔付次数的分布：负二项 r = 180，β = 1.25。两种算法的均值差 3.64e-12、方差差 1.86e-09（应为 0）。

免赔额、限额以后的次数、每次赔付和总赔付compare2 行 · 7 列

结果表免赔额、限额以后的次数、每次赔付和总赔付
算法	次数均值	次数方差	每次的均值	每次的方差	总赔付均值	总赔付方差
按每次损失：N^L 和 Y^L	300	800	75	6,075	22,500	6,322,500
按每次赔付：N^P 和 Y^P	225	506.25	100	5,600	22,500	6,322,500

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 7.5.5 和 7.5.6：牙科团体险，负二项均值 300、方差 800，损失增长 50%，免赔额 100，E[S] = 22,500，E[N^P] = 225，E[Y^P] = 100，Var(S) = 6,322,500

参数每次损失的免赔额 d 100 元损失次数的分布负二项（方差 > 均值）损失次数的均值 E[N^L] 300 次损失次数的方差 800损失的通胀率 r 0.5单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 4 个数离散分布的取值 4 个数其余用默认值

项	标准答案	这次算出
总赔付的均值 E[S]mean	22,500	22,500
赔付次数的均值 E[N^P]mean_np	225	225
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment	100	100
总赔付的方差 Var(S)var	6,322,500	6,322,500

允许误差 0.000001

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.5.7：车队险，复合泊松，次数 20 × 0.8 = 16，Exp(200)，免赔额 100，E[S] = 16 × 121.31 = 1,941，每次赔付 200
参数每次损失的免赔额 d 100 元损失次数的分布泊松（方差 = 均值）损失次数的均值 E[N^L] 16 次损失的通胀率 r 0单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 200 元其余用默认值
项标准答案平台算出
总赔付的均值 E[S]mean 1,940.8981 1,940.8981
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment 200 200
说明：书中取整为 1,941；未取整的值是 1,940.92
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
总赔付的均值 E[S]mean	1,940.8981	1,940.8981
每次赔付的期望赔付 E[Y^P]per_payment	200	200

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行211 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import payments_with_deductible34result = payments_with_deductible.payments_with_deductible(5    freq_dist="negbin",6    freq_mean=300,7    freq_var=800,8    sev_dist="discrete",9    theta=1000,10    alpha=2,11    gamma=1,12    sev_values=[40, 80, 120, 200],13    sev_probs=[0.25, 0.25, 0.25, 0.25],14    d=100,15    u=0,16    coinsurance=1,17    inflation=0.5,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.5.3 Impact of Policy Modifications on Aggregate Claims
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.7 节 The impact of individual policy modifications

覆盖的考试公式

AGG-004免赔额下的总赔付FAMASTAM
COV-001每次损失赔付：免赔额、限额、共保与通胀FAMASTAMMAS-ICS2SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

总赔付 S 可以写成损失次数 × 每次损失的赔付，也可以写成赔付次数 × 每次赔付的赔付。两种算法的均值、方差都算出来并对照；画出总赔付的均值随免赔额的变化。

说明和限制

假设免赔额、限额不改变损失次数和单次损失的分布。赔付次数是损失次数的二项稀疏（泊松、负二项、二项仍在同一族）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“加了免赔额、限额、共保，损失又有通胀，一年总共赔多少？波动多大？”