集体风险模型的矩

一年的总损失平均多少、波动多大、偏得多厉害？均值加几倍标准差作预算是多少？

SOA FAMSOA ASTAMCAS MAS-IIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

公式

\displaystyle \mathrm{E}[S]=\mathrm{E}[N]\,\mathrm{E}[X]

\displaystyle \mathrm{Var}(S)=\mathrm{E}[N]\,\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(N)\,\mathrm{E}[X]^2

\displaystyle \kappa_3(S)=\mathrm{E}[N]\kappa_3(X)+3\,\mathrm{Var}(N)\mathrm{E}[X]\mathrm{Var}(X)+\kappa_3(N)\mathrm{E}[X]^3

\displaystyle \text{复合泊松: }\mathrm{Var}(S)=\lambda m_2,\ \kappa_3(S)=\lambda m_3,\ M_S(t)=e^{\lambda(M_X(t)-1)}

\displaystyle \text{复合负二项: }\mathrm{Var}(S)=r\beta m_2+r\beta^2m_1^2

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 20 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

出险次数的分布

泊松的 λ次

均值

0 次5,000 次

出险次数的概率3 个数

自动归一

最小 0.2最大 0.5均值 0.3333

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

单次损失的分布

离散分布的取值3 个数 · 元

选离散分布时用

最小 1最大 3均值 2

1–200 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

离散分布的概率3 个数

和取值一一对应，自动归一

最小 0.1667最大 0.5均值 0.3333

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

预算 = 均值 + k 倍标准差中的 k

010

当前选项用不到的 13 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：出险次数泊松 λ = 12；单次损失离散分布：1（0.5），2（0.3333），3（0.1667）

输出

用时 169 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

总损失的均值 E[S]: 20元
总损失的方差 Var(S): 40元²
总损失的标准差: 6.32456元
变异系数: 0.316228
偏度: 0.363662
预算：均值 + 1 倍标准差: 26.3246元
出险次数的均值 E[N]: 12次
单次损失的均值 E[X]: 1.66667元

总损失方差的来源

纵轴：元²

方差里 16.7% 来自单次损失的波动，83.3% 来自出险次数的波动。

次数、单次损失和总损失的矩moments3 行 · 4 列

结果表次数、单次损失和总损失的矩
变量	均值	方差	三阶中心矩
出险次数 N	12	12	12
单次损失 X	1.66667	0.555556	0.259259
总损失 S	20	40	92

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.1：事故次数 Poi(12)，每次 1、2、3 个索赔人，概率 1/2、1/3、1/6，Var(S) = 12 × 10/3 = 40；偏度按复合泊松 κ₃ = λm₃ 手算：12 × 23/3 / 40^{1.5} = 0.3637
参数出险次数的分布泊松 Poi(λ)泊松的 λ 12 次单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 3 个数离散分布的取值 3 个数其余用默认值
项标准答案这次算出
偏度skew 0.36366193 0.36366193
总损失的方差 Var(S)var 40 40
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.2：电视竞猜的奖金，E = 204，Var = 98,344，预算 = 204 + √98,344 = 517.60
参数出险次数的分布离散分布（自己填次数和概率）出险次数的概率 2 个数出险次数的取值 2 个数预算 = 均值 + k 倍标准差中的 k 1单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 3 个数离散分布的取值 3 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
预算：均值 + 1 倍标准差budget 517.59847 517.59847
总损失的均值 E[S]mean 204 204
总损失的方差 Var(S)var 98,344 98,344
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.5：次数均值 8、标准差 3，单次损失均值 10,000、标准差 3,937，Var(S) = 1,023,999,752
参数出险次数的分布只给均值和方差出险次数的均值 8 次出险次数的方差 9单次损失的分布只给均值和方差单次损失的均值 1 万元单次损失的方差 1,550 万其余用默认值
项标准答案平台算出
总损失的均值 E[S]mean 80,000 80,000
总损失的方差 Var(S)var 1,023,999,800 1,023,999,800
允许误差 0.001
第 4 条
平台算出的数对得上
手算（IFoA CS2 的复合负二项公式，Loss Models 记号 k = r、q/p = β）：E = rβm₁ = 600，Var = rβm₂ + rβ²m₁² = 120,000 + 180,000
参数负二项、几何、对数分布的 β 3出险次数的分布负二项 NB(r, β)负二项的 r 2单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 100 元其余用默认值
项标准答案平台算出
总损失的均值 E[S]mean 600 600
总损失的方差 Var(S)var 300,000 300,000
允许误差 0.000001

项	标准答案	这次算出
偏度skew	0.36366193	0.36366193
总损失的方差 Var(S)var	40	40

项	标准答案	平台算出
预算：均值 + 1 倍标准差budget	517.59847	517.59847
总损失的均值 E[S]mean	204	204
总损失的方差 Var(S)var	98,344	98,344

项	标准答案	平台算出
总损失的均值 E[S]mean	80,000	80,000
总损失的方差 Var(S)var	1,023,999,800	1,023,999,800

项	标准答案	平台算出
总损失的均值 E[S]mean	600	600
总损失的方差 Var(S)var	300,000	300,000

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：20 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 26 行169 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import collective_moments34result = collective_moments.collective_moments(5    freq_dist="poisson",6    lam=12,7    r=3,8    beta=2,9    m=20,10    q=0.3,11    p0m=0.3,12    freq_values=[0, 1, 2],13    freq_probs=[0.5, 0.3, 0.2],14    freq_mean=8,15    freq_var=9,16    sev_dist="discrete",17    theta=1000,18    alpha=2,19    gamma=1,20    sev_values=[1, 2, 3],21    sev_probs=[0.5, 0.3333333333333333, 0.16666666666666666],22    sev_mean=10000,23    sev_var=15499969,24    k_sd=1,25)26print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.3.1 Moments and Distribution
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.3 节 The compound model for aggregate claims

覆盖的考试公式

AGG-001集体风险模型的均值与方差FAMASTAMMAS-ICS2SP8
AGG-008复合泊松：矩与矩母函数MAS-ICS2
AGG-010复合二项与复合负二项的矩CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

复合分布 S = X₁ + … + X_N 的均值、方差、偏度（泊松、负二项、二项、几何、零修正、对数分布或自己填的次数），方差拆成单次损失的波动和出险次数的波动两部分。

说明和限制

只给矩时不能算偏度。三阶矩不存在（例如 Pareto α ≤ 3）时偏度为空。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一年的总损失平均多少、波动多大、偏得多厉害？均值加几倍标准差作预算是多少？”