止损保费和累计免赔额 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

总损失的分布

出险次数的分布

负二项、几何、对数分布的 β

0.00011 万

单次损失的分布

离散分布的取值3 个数 · 元

选离散分布时用

最小 5最大 20均值 11.67

1–200 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

离散分布的概率3 个数

和取值一一对应，自动归一

最小 0.2最大 0.5均值 0.3333

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

总损失的概率4 个数

自动归一

最小 0.1最大 0.4均值 0.25

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

自留额（累计免赔额）d元

0 元100,000,000 万元

止损层的限额元

0 表示不限

0 元100,000,000 万元

当前选项用不到的 10 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：出险次数几何 β = 2；单次损失离散分布：5（0.2），10（0.3），20（0.5）

输出

用时 1.1 秒 · 11/14 22:42 运行

止损保费 E[(S − d)₊]: 18.8074元
总损失的均值 E[S]: 28元
自留部分的均值 E[S] − 止损保费: 9.19259元
总损失超过自留额的概率: 53.11%
分出部分的标准差: 31.4328元

自留额和止损保费

纵轴：元

各自留额的止损保费recursion7 行 · 3 列

结果表各自留额的止损保费
自留额（元）	F_S(d)	E[(S − d)₊]（元）
0	0.333333	28
5	0.377778	24.6667
10	0.45037	21.5556
15	0.468938	18.8074
20	0.597044	16.1521
25	0.632653	14.1373
30	0.687219	12.3006

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.7：加班项目数 Geo(β = 2)，每个项目 5、10、20 小时，超过 15 小时的期望 = 28 − 9.193 = 18.807
参数负二项、几何、对数分布的 β 2自留额（累计免赔额）d 15 元出险次数的分布几何 Geo(β)单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 3 个数离散分布的取值 3 个数总损失的分布出险次数 × 单次损失（Panjer 递推）其余用默认值
项标准答案这次算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium 18.807407 18.807407
说明：书中把中间结果 P(S = 10) 取成 0.0726，得到 18.807；未取整的精确值是 18.8066
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.8：步长 5 的递推，E[(S − 5)₊] = 74/3 = 24.6667，E[(S − 10)₊] = 21.555
参数负二项、几何、对数分布的 β 2自留额（累计免赔额）d 15 元出险次数的分布几何 Geo(β)单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 3 个数离散分布的取值 3 个数总损失的分布出险次数 × 单次损失（Panjer 递推）其余用默认值
项标准答案这次算出
E[(S − d)₊]（元）表 recursion · 第 2 行 24.666667 24.666667
E[(S − d)₊]（元）表 recursion · 第 3 行 21.555556 21.555556
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
手算（正态分布的闭式公式）：μ = 1000，σ = 200，d = 1200，z = 1，E[(S − d)₊] = σφ(1) − 200(1 − Φ(1)) = 16.663
参数自留额（累计免赔额）d 1,200 元正态近似的均值 1,000 元正态近似的标准差 200 元总损失的分布总损失近似为正态分布（闭式公式）其余用默认值
项标准答案平台算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium 16.663094 16.663094
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：S 取 0、100、200、500，概率 0.4、0.3、0.2、0.1，200 xs 150 的止损层期望 = 0.2 × 50 + 0.1 × 200 = 30
参数自留额（累计免赔额）d 150 元止损层的限额 200 元总损失的概率 4 个数总损失的取值 4 个数总损失的分布直接给总损失的离散分布其余用默认值
项标准答案平台算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium 30 30
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	这次算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium	18.807407	18.807407

项	标准答案	这次算出
E[(S − d)₊]（元）表 recursion · 第 2 行	24.666667	24.666667
E[(S − d)₊]（元）表 recursion · 第 3 行	21.555556	21.555556

项	标准答案	平台算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium	16.663094	16.663094

项	标准答案	平台算出
止损保费 E[(S − d)₊]premium	30	30

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：19 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 25 行1.1 秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import stop_loss34result = stop_loss.stop_loss(5    source="compound",6    freq_dist="geometric",7    lam=5,8    r=2,9    beta=2,10    m=20,11    q=0.2,12    sev_dist="discrete",13    theta=10,14    alpha=2,15    gamma=1,16    sev_values=[5, 10, 20],17    sev_probs=[0.2, 0.3, 0.5],18    s_values=[0, 100, 200, 500],19    s_probs=[0.4, 0.3, 0.2, 0.1],20    mean=1000,21    sd=200,22    d=15,23    limit=0,24)25print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.3.2 Stop-loss Insurance
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.4 节 Analytic results；第 9.7 节 stop-loss

覆盖的考试公式

AGG-005累计免赔额（止损）FAMASTAMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

E[(S − d)₊] = E[S] − E[S∧d]。离散分布用递推 E[(S − (j+1)h)₊] = E[(S − jh)₊] − h(1 − F_S(jh))，正态分布用闭式公式。可以加限额（止损层）。

说明和限制

止损保费是纯保费，没有费用和风险附加。
离散分布上的结果是精确的；连续的单次损失先离散化，结果有离散化误差。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一年的总损失超过自留额 d 的部分（止损再保险、累计免赔额）期望是多少？自留额改一改，保费怎么变？”