复合分布：Panjer 递推和 FFT · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

出险次数的分布

负二项的 r

0.011 万

负二项、几何、对数分布的 β

0.00011 万

出险次数的概率3 个数

自动归一

最小 0.2最大 0.5均值 0.3333

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

单次损失的分布

尺度参数 θ元

对数正态是 e^μ，贝塔和均匀分布是上限

0.001 元100,000 万元

形状参数 α

Pareto、伽马、Burr 的 α，威布尔的 τ，对数正态的 σ，贝塔的 a

0.05100

离散分布的概率4 个数

和取值一一对应，自动归一

最小 0.25最大 0.25均值 0.25

1–200 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

其余 6 个参数

计算方法

Panjer 递推快速傅里叶变换（FFT）直接卷积

单次损失的离散化

离散化的步长 h元

0 表示自动选

0 元100,000 万元

格点数 2^k 的 k

615

要查的总损失金额 s元

算 F_S(s) 和 P(S > s)，0 表示不查

0 元100,000,000 万元

用开源库 aggregate 再算一次对照

对照不对照

当前选项用不到的 7 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：出险次数负二项 r = 3，β = 2；单次损失对数正态分布 μ = 8.987，σ = 1

输出

用时 2.2 秒 · 缓存 · 11/14 21:02 运行

总损失的均值（精确）: 7.914 万元
总损失的标准差（精确）: 7.018 万元
总损失的偏度（精确）: 1.76842
总损失的均值（数值）: 7.914 万元
总损失的标准差（数值）: 7.018 万元
F_S(200000): 0.936552
P(S > 200000): 0.0634476
99.5% VaR: 36.4 万元
99.5% TVaR: 43.68 万元
P(S = 0): 0.0372418
步长 h: 800元

总损失的分布

纵轴：概率

aggregate 的程序：agg WiCheck 6 claims sev 8000 * lognorm 1 mixed gamma 0.57735026919（同样的步长和格点数）。aggregate 用取整法离散化，所以和局部矩匹配法有小的差别。

几种算法的比较compare2 行 · 6 列

结果表几种算法的比较
算法	均值	90% VaR	99% VaR	99.5% VaR	P(S = 0)
本方法（Panjer 递推）	79,138.6	171,200	318,400	364,000	0.0372418
开源库 aggregate（FFT）	79,139.51	171,200	318,400	364,000	0.0371386

总损失的矩：精确值和数值结果moments3 行 · 3 列

结果表总损失的矩：精确值和数值结果
量	精确	数值
均值	79,138.62	79,138.6
标准差	70,178.61	70,182.47
偏度	1.76842	1.76156

总损失分布的前几个格点pmf_head20 行 · 3 列

结果表总损失分布的前几个格点
总损失 s（元）	P(S = s)	F_S(s)
0	0.0372418	0.0372418
800	0.00203346	0.0392752
1,600	0.00404544	0.0433207
2,400	0.00504584	0.0483665
3,200	0.00550901	0.0538755
4,000	0.00574512	0.0596206
4,800	0.00588508	0.0655057
5,600	0.00598195	0.0714877
6,400	0.00605769	0.0775454
7,200	0.0061217	0.0836671
8,000	0.00617822	0.0898453
8,800	0.00622925	0.0960745
9,600	0.0062758	0.10235
10,400	0.00631842	0.108669
11,200	0.00635743	0.115026
12,000	0.00639306	0.121419
12,800	0.00642546	0.127845
13,600	0.00645477	0.134299
14,400	0.00648109	0.140781
15,200	0.00650453	0.147285

总损失的 VaR 和 TVaRrisk5 行 · 3 列

结果表总损失的 VaR 和 TVaR
概率水平	VaR（元）	TVaR（元）
0.9	171,200	235,329.16
0.95	215,200	280,133.17
0.99	318,400	387,574.81
0.995	364,000	436,759.95
0.999	477,600	563,690.86

不同自留额的止损保费stop_loss5 行 · 3 列

结果表不同自留额的止损保费
自留额取的分位数	自留额 d（元）	止损保费 E[(S − d)₊]（元）
0.5	61,600	34,117.15
0.75	110,400	16,404.8
0.9	171,200	6,412.92
0.95	215,200	3,246.66
0.99	318,400	691.748

开源库aggregate0.30.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.4.1：几何分布均值 4，单次损失在 1、2、3、4 上等可能，F_S(3) = 0.3456，f_S(3) = 0.0576
参数负二项、几何、对数分布的 β 4用开源库 aggregate 再算一次对照不对照出险次数的分布几何 Geo(β)离散化的步长 h 1 元格点数 2^k 的 k 8要查的总损失金额 s 3 元单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 4 个数离散分布的取值 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
F_S(200000)cdf_s 0.3456 0.3456
P(S = s)表 pmf_head · 第 4 行 0.0576 0.0576
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.3：同一个模型用卷积 F_S(3) = p₀ + F^{*1}(3)p₁ + F^{*2}(3)p₂ + F^{*3}(3)p₃ = 0.3456
参数负二项、几何、对数分布的 β 4用开源库 aggregate 再算一次对照不对照出险次数的分布几何 Geo(β)离散化的步长 h 1 元格点数 2^k 的 k 8计算方法直接卷积要查的总损失金额 s 3 元单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 4 个数离散分布的取值 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
F_S(200000)cdf_s 0.3456 0.3456
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁸×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.4.1：同一个模型用 FFT，F_S(3) = 0.3456
参数负二项、几何、对数分布的 β 4用开源库 aggregate 再算一次对照不对照出险次数的分布几何 Geo(β)离散化的步长 h 1 元格点数 2^k 的 k 10计算方法快速傅里叶变换（FFT）要查的总损失金额 s 3 元单次损失的分布离散分布（自己填取值和概率）离散分布的概率 4 个数离散分布的取值 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
F_S(200000)cdf_s 0.3456 0.3456
说明：FFT 在 2^10 个格点上算，尾部折回来的概率小于 1e−12
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式解（Loss Data Analytics 第 2 版例 7.3.9）：几何 β 和指数 θ 的复合分布 P(S > s) = β/(1+β)·exp(−s/(θ(1+β)))，β = 2、θ = 100、s = 300 时为 (2/3)e^{−1} = 0.245253
参数负二项、几何、对数分布的 β 2用开源库 aggregate 再算一次对照不对照单次损失的离散化局部矩匹配法（保持均值）出险次数的分布几何 Geo(β)离散化的步长 h 0.5 元格点数 2^k 的 k 13要查的总损失金额 s 300 元单次损失的分布指数分布 Exp(θ)尺度参数 θ 100 元其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S > 200000)sf_s 0.24525296 0.24525307
说明：连续的单次损失要离散化。格点 jh 的概率代表 (jh − h/2, jh + h/2]，F_S 在格点之间线性插值。步长 0.5 时离散化误差小于 1e−5，误差放到 2e−5
允许误差 0.00002
第 5 条
平台算出的数对得上
复合泊松的矩（Loss Models 第 9 章）：E[S] = λE[X] = 3 × 200 = 600，Var(S) = λE[X²] = 3 × 6 × 100² = 180,000
参数形状参数 α 2用开源库 aggregate 再算一次对照不对照出险次数的分布泊松 Poi(λ)离散化的步长 h 2 元泊松的 λ 3 次格点数 2^k 的 k 12要查的总损失金额 s 1,000 元单次损失的分布伽马分布 Gamma(α, θ)尺度参数 θ 100 元其余用默认值
项标准答案平台算出
总损失的均值（精确）mean_exact 600 600
总损失的均值（数值）mean_numeric 600 600
总损失的标准差（精确）sd_exact 424.26407 424.26407
说明：局部矩匹配的离散化保持均值，所以数值算出的均值也是 600
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁷×|答案|

项	标准答案	平台算出
F_S(200000)cdf_s	0.3456	0.3456
P(S = s)表 pmf_head · 第 4 行	0.0576	0.0576

项	标准答案	平台算出
F_S(200000)cdf_s	0.3456	0.3456

项	标准答案	平台算出
F_S(200000)cdf_s	0.3456	0.3456

项	标准答案	平台算出
P(S > 200000)sf_s	0.24525296	0.24525307

项	标准答案	平台算出
总损失的均值（精确）mean_exact	600	600
总损失的均值（数值）mean_numeric	600	600
总损失的标准差（精确）sd_exact	424.26407	424.26407

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：21 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 27 行2.2 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import compound_distribution34result = compound_distribution.compound_distribution(5    freq_dist="negbin",6    lam=10,7    r=3,8    beta=2,9    m=20,10    q=0.3,11    p0m=0.3,12    freq_values=[0, 1, 2],13    freq_probs=[0.5, 0.3, 0.2],14    sev_dist="lognormal",15    theta=8000,16    alpha=1,17    gamma=1,18    sev_values=[1, 2, 3, 4],19    sev_probs=[0.25, 0.25, 0.25, 0.25],20    method="panjer",21    discretization="moment",22    h=0,23    log2=12,24    s_query=200000,25    compare_lib="yes",26)27print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库aggregate0.30.0· BSD-3-Clause scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.3.1 卷积；7.4.1 Recursive Method
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.6 节 Panjer 递推；第 9.6.1 节离散化；第 9.5 节 FFT

覆盖的考试公式

AGG-003总损失分布（卷积）FAMASTAMCS2
AGG-006严重度离散化（取整法与保均值法）FAMASTAM
AGG-007Panjer 递推ASTAMCS2SP8

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把单次损失离散化（取整法或局部矩匹配），用 Panjer 递推（(a,b,0) 和 (a,b,1) 类）、快速傅里叶变换或直接卷积算总损失分布，给出 F_S(s)、VaR、TVaR、止损保费，并和精确的矩、开源库 aggregate 的结果对照。

说明和限制

单次损失要先放到等距的格点上。局部矩匹配法保持均值，取整法简单但会稍微改变均值。步长越小越准，格点要盖住总损失的尾部。
Panjer 递推只适用于 (a,b,0)、(a,b,1) 类的出险次数（泊松、负二项、几何、二项、对数分布及其零修正）。自己填的次数分布用 FFT 或直接卷积。
FFT 在两倍长的格点上计算再截回，减少尾部折回来的误差；格点外的概率在结果里写明。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

aggregate0.30.0BSD-3-Clause损失建模：用快速傅里叶变换算总损失分布
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“出险次数和单次损失的分布都知道了，一年的总损失分布是什么？超过某个金额的概率是多少？”