个体风险模型 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每组的保单数2 个数 · 张

最小 100最大 200均值 150

1–20 个数，每个在 1–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每组每张保单的出险概率 q2 个数

最小 0.05最大 0.06均值 0.055

1–20 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每组的金额2 个数 · 元

固定金额 b、上限 M、均值或 λ，见“赔付金额”

最小 300最大 400均值 350

1–20 个数，每个在 0–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

出险时的赔付金额

要查的总赔付 s元

算 P(S > s)

0 元100,000,000 万元

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的保单组计算

输出

用时 924 毫秒 · 11/14 22:22 运行

保单数: 300张
总赔付的均值 E[S]: 2,800元
总赔付的方差 Var(S): 60.05 万元²
总赔付的标准差: 774.898元
正态近似 P(S > 3500): 0.183171
精确 P(S > 3500)（固定金额时）: —
复合泊松近似的方差: 62.67 万元²

正态近似的超越概率

纵轴：概率

各组保单的均值和方差groups2 行 · 6 列

结果表各组保单的均值和方差
保单数	出险概率	金额均值 μ	金额方差 σ²	组的均值	组的方差
100	0.05	200	13,333.33	1,000	256,666.67
200	0.06	150	7,500	1,800	343,800

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.2.1：300 张火险保单，金额在 0 到保单上限之间均匀分布，E = 2,800，Var = 600,467
参数出险时的赔付金额在 0 到 M 之间均匀分布每组的金额 2 个数每组的保单数 2 个数每组每张保单的出险概率 q 2 个数要查的总赔付 s 3,500 元
项标准答案这次算出
总赔付的均值 E[S]mean 2,800 2,800
总赔付的方差 Var(S)var 600,466.67 600,466.67
允许误差 0.000001 + 1×10⁻⁸×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.2.3：正态近似 P(S > 3,500) = 1 − Φ(0.90334) = 0.1832
参数出险时的赔付金额在 0 到 M 之间均匀分布每组的金额 2 个数每组的保单数 2 个数每组每张保单的出险概率 q 2 个数要查的总赔付 s 3,500 元
项标准答案这次算出
正态近似 P(S > 3500)normal_sf 0.1832 0.18317144
说明：书中数字取 4 位，误差放到 5e−5
允许误差 0.00005
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.2.1（续）：每次都赔保单上限，E = 5,600，Var = 1,775,200
参数出险时的赔付金额固定金额 b（例如定期寿险的保额）每组的金额 2 个数每组的保单数 2 个数每组每张保单的出险概率 q 2 个数要查的总赔付 s 3,500 元
项标准答案平台算出
总赔付的均值 E[S]mean 5,600 5,600
总赔付的方差 Var(S)var 1,775,200 1,775,200
允许误差 0.000001
第 4 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 7.2.2：100 张房屋险保单，次数是零修正泊松，组合的次数 E = 8.8375，Var = 23.7214
参数出险时的赔付金额零截断泊松次数（填 λ，用来数一组保单的出险次数）每组的金额 2 个数每组的保单数 2 个数每组每张保单的出险概率 q 2 个数要查的总赔付 s 10 元
项标准答案平台算出
总赔付的均值 E[S]mean 8.8375 8.8374779
总赔付的方差 Var(S)var 23.7214 23.721446
允许误差 0.0001
第 5 条
平台算出的数对得上
手算（二项分布）：3 张保单，q = 0.1，保额 1000，P(S > 1000) = P(至少 2 张出险) = 1 − 0.9³ − 3(0.1)(0.9²) = 0.028
参数出险时的赔付金额固定金额 b（例如定期寿险的保额）每组的金额 1 个数每组的保单数 1 个数每组每张保单的出险概率 q 1 个数要查的总赔付 s 1,000 元
项标准答案平台算出
精确 P(S > 3500)（固定金额时）exact_sf 0.028 0.028
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	这次算出
总赔付的均值 E[S]mean	2,800	2,800
总赔付的方差 Var(S)var	600,466.67	600,466.67

项	标准答案	这次算出
正态近似 P(S > 3500)normal_sf	0.1832	0.18317144

项	标准答案	平台算出
总赔付的均值 E[S]mean	5,600	5,600
总赔付的方差 Var(S)var	1,775,200	1,775,200

项	标准答案	平台算出
总赔付的均值 E[S]mean	8.8375	8.8374779
总赔付的方差 Var(S)var	23.7214	23.721446

项	标准答案	平台算出
精确 P(S > 3500)（固定金额时）exact_sf	0.028	0.028

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行924 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import individual_risk34result = individual_risk.individual_risk(5    counts=[100, 200],6    probs=[0.05, 0.06],7    amounts=[400, 300],8    amount_type="uniform",9    s_query=3500,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.2 Individual Risk Model
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.11 节 The individual risk model

覆盖的考试公式

AGG-002个体风险模型FAMCS2
AGG-011个体风险模型（0/1 理赔）FAMCS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

S = Σ IᵢBᵢ，Iᵢ 表示第 i 张保单是否出险。算均值、方差、正态近似；赔付金额固定时用卷积算精确分布，并和复合泊松近似比较。

说明和限制

每张保单最多出险一次，保单之间独立。
复合泊松近似把每张保单换成次数均值 qᵢ 的泊松：均值不变，方差多出 Σqᵢ²μᵢ²，偏保守。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一批独立的保单，每张以一定概率出险，总赔付的均值、方差是多少？超过某个金额的概率多大？”