几个险种的复合泊松合并 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每个险种一年的出险次数均值 λᵢ3 个数 · 次

最小 0.5最大 20均值 8.5

1–10 个数，每个在 0–1 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个险种单次损失的均值3 个数 · 元

最小 2,000最大 20 万均值 7.233 万

1–10 个数，每个在 0.001–100 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

每个险种单次损失的变异系数3 个数

伽马分布

最小 1最大 2均值 1.5

1–10 个数，每个在 0.05–20 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

格点数 2^k 的 k

814

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的险种参数计算

输出

用时 1.1 秒 · 缓存 · 11/14 22:22 运行

合并后的次数均值 Λ: 25.5次
总损失的均值: 21.5 万元
总损失的方差: 1,038 亿元²
总损失的标准差: 32.22 万元
总损失的偏度: 5.39019
99.5% VaR: 218.2 万元
两种算法分布函数的最大差: 1.23×10⁻¹²

合并后总损失超过某个金额的概率

纵轴：概率

合并成一个复合泊松算（FFT），和逐个险种算再相乘（FFT）对照，分布函数最大差 1.2e-12，验证了合并定理。步长 1000 元。

各险种的参数和总损失均值lines3 行 · 6 列

结果表各险种的参数和总损失均值
险种	λᵢ	权重 λᵢ/Λ	单次损失均值	变异系数	这个险种的总损失均值
1	20	0.784314	2,000	1	40,000
2	5	0.196078	15,000	1.5	75,000
3	0.5	0.0196078	200,000	2	100,000

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算（Loss Models 定理 9.7）：λ = 2、3，指数均值 100、200（cv = 1），Λ = 5，权重 0.4、0.6，E[S] = 800，Var(S) = Σλᵢ·2θᵢ² = 280,000
参数每个险种单次损失的变异系数 2 个数每个险种一年的出险次数均值 λᵢ 2 个数格点数 2^k 的 k 12每个险种单次损失的均值 2 个数
项标准答案平台算出
合并后的次数均值 ΛLambda 5 5
总损失的均值mean 800 800
总损失的方差var 280,000 280,000
权重 λᵢ/Λ表 lines · 第 2 行 0.6 0.6
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
合并后的次数均值 ΛLambda	5	5
总损失的均值mean	800	800
总损失的方差var	280,000	280,000
权重 λᵢ/Λ表 lines · 第 2 行	0.6	0.6

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行1.1 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.aggregate import compound_poisson_sum34result = compound_poisson_sum.compound_poisson_sum(5    lams=[20, 5, 0.5],6    means=[2000, 15000, 200000],7    cvs=[1, 1.5, 2],8    log2=12,9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）7.2.2 可加的分布族
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 9.2 节 Theorem 9.7（独立复合泊松之和）

覆盖的考试公式

AGG-009独立复合泊松之和MAS-ICS2
AGG-008复合泊松：矩与矩母函数MAS-ICS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

独立复合泊松之和仍是复合泊松：次数的均值 Λ = Σλᵢ，单次损失是按 λᵢ/Λ 加权的混合分布。算合并后的矩和分布，并和逐个险种卷积的结果对照。

说明和限制

每个险种的单次损失用伽马分布（按均值和变异系数）。
合并的结论要求各险种独立，次数都是泊松。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

总损失，还有 10 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“几个独立的险种各自是复合泊松，合在一起的总损失是什么分布？”