保证最低满期给付（GMMB）的价值和对冲 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表

投保年龄岁

0 岁90 岁

期限 n年

1 年40 年

趸缴保费 P元

100 元10,000 万元

保证比例 g

保证 = g × P

0.12

初始费用 e

00.2

每年管理费 m

00.05

其余 5 个参数

管理费的扣法

无风险利率 r%

连续复利

-2%12%

波动率 σ

0.010.8

看第 t 年末的对冲组合年

0 年39 年

第 t 年末的股价 S_t/S_0

0.15

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 647 毫秒 · 11/14 22:37 运行

保证在签单时的价值 π(0): 1.521 万元
占保费的比例: 15.21%
活到期满的概率 10p_x: 95.19%
第 0 年末保证的价值: 1.521 万元
对冲组合：股票部分: -2.563 万元
对冲组合：债券部分: 4.084 万元

第 0 年末：股价和对冲组合

保证的价值
股票部分
债券部分

纵轴：元

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。

不同股价下的保证价值和对冲组合by_s11 行 · 4 列

结果表不同股价下的保证价值和对冲组合
S_t/S_0	保证的价值（元）	股票部分（元）	债券部分（元）
0.5	35,761.13	-30,184.57	65,945.71
0.6	30,161.38	-31,022.32	61,183.69
0.7	25,396.73	-30,614.81	56,011.54
0.8	21,382.23	-29,377.66	50,759.88
0.9	18,018.86	-27,638.11	45,656.97
1	15,209.08	-25,634.91	40,843.99
1.1	12,864.1	-23,533.19	36,397.28
1.2	10,906.47	-21,441.97	32,348.44
1.3	9,270.34	-19,429.66	28,700.01
1.4	7,900.56	-17,536.2	25,436.76
1.5	6,751.33	-15,782.15	22,533.48

不同波动率下的保证价值by_sigma7 行 · 2 列

结果表不同波动率下的保证价值
波动率	π(0)（元）
0.1	5,903.46
0.15	10,544.99
0.2	15,209.08
0.25	19,801.26
0.3	24,273.31
0.35	28,592.51
0.4	32,733.89

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02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：Black-Scholes 看跌期权，F₀ = 100 × 0.97 × 0.99¹⁰，K = 100，r = 4%，σ = 25%，n = 10，乘 10p_x = e^{−0.1}（常数死亡力 0.01）
参数投保年龄 0 岁管理费的扣法每年年末扣管理费（共 n 次）保证比例 g 1初始费用 e 0.03每年管理费 m 0.01mu 0.01期限 n 10 年趸缴保费 P 100 元无风险利率 r 4%波动率 σ 0.25看第 t 年末的对冲组合 0 年其余用默认值
项标准答案平台算出
保证在签单时的价值 π(0)value 13.32092 13.32092
允许误差 1×10⁻⁷
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：平值看跌期权 F₀ = K = 100 时 d₁ = (r + σ²/2)n/(σ√n)；股票部分 = −np·F₀Φ(−d₁)，债券部分 = np·Ke^{−rn}Φ(−d₂)
参数投保年龄 0 岁管理费的扣法每年年末扣管理费（共 n 次）保证比例 g 1初始费用 e 0每年管理费 m 0mu 0.01期限 n 10 年趸缴保费 P 100 元无风险利率 r 4%波动率 σ 0.25看第 t 年末的对冲组合 0 年其余用默认值
项标准答案平台算出
对冲组合：债券部分bond 27.653866 27.653866
对冲组合：股票部分stock -16.624391 -16.624391
允许误差 1×10⁻⁷
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行

项	标准答案	平台算出
保证在签单时的价值 π(0)value	13.32092	13.32092

项	标准答案	平台算出
对冲组合：债券部分bond	27.653866	27.653866
对冲组合：股票部分stock	-16.624391	-16.624391

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行647 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.profit_testing import guarantees34result = guarantees.gmmb(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=50,8    n=10,9    premium=100000,10    guarantee=1,11    init_charge=0.03,12    mgmt=0.01,13    charges="end",14    r=0.025,15    sigma=0.2,16    t=0,17    s_ratio=1,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 14 章（嵌入式期权）

覆盖的考试公式

LPT-012保证最低满期给付（GMMB）的期权价值ALTAM
LPT-014嵌入期权对冲组合ALTAM

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

期满基金 F_n = P(1 − e)(1 − m)^k · S_n/S_0，保证 K = gP。保证的价值 = 活到期满的概率 × Black-Scholes 看跌期权。第 t 年按当时的基金和剩余期限重算，对冲组合的股票部分 = −{}_{n−t}p_{x+t} · F_tξΦ(−d₁)（卖空），其余是债券。

说明和限制

假设股票按几何布朗运动，死亡和市场独立，死亡风险可以分散；没有退保。
管理费按年扣：年末扣时期满基金乘 (1 − m)^n，第 2 年起年初扣时乘 (1 − m)^{n−1}（公式表的写法）。
对冲组合的股票部分是负数，表示卖空股票（或买看跌期权）。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

利润测试，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“投连险或变额年金保证期满至少返还保费，这个保证值多少钱？要对冲它，现在该持有多少股票、多少债券？”