变额寿险和变额年金（递增、递减、复利递增）

保额每年递增、递减或按固定比例增长的寿险，或者给付每年递增的年金，精算现值是多少？

SOA FAMIFoA CM1

公式

\displaystyle (IA)_x=\sum_{k\ge0}(k+1)v^{k+1}{}_kp_xq_{x+k}=\frac{R_x}{D_x}

\displaystyle (I\ddot a)_x=\sum_{k\ge0}(k+1)v^k{}_kp_x=\frac{S_x}{D_x}

\displaystyle (IA)^1_{x:\overline{n}|}=(IA)_x-{}_nE_x\big[n A_{x+n}+(IA)_{x+n}\big]

\displaystyle (DA)^1_{x:\overline{n}|}=(n+1)A^1_{x:\overline{n}|}-(IA)^1_{x:\overline{n}|}

\displaystyle \sum_{k\ge0}(1+b)^k v^{k+1}{}_kp_xq_{x+k}=\frac{A_x^{(j)}}{1+b},\; j=\frac{1+i}{1+b}-1

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 3 个
参数: 12 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

给付的种类

寿险（死亡给付）期初付生存年金

金额的变化

期间

终身n 年

其余 3 个参数

期间 n年

1 年80 年

寿险的给付时点

死亡那一年年末死亡时立即给付

第 1 年的金额元

1 元1,000 万元

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 587 毫秒 · 11/14 21:29 运行

精算现值（第 1 年金额为 1）: 0.606539
按第 1 年金额的精算现值: 6,065.39元
金额不变时的精算现值（对照）: 0.047934
变额 ÷ 不变: 12.6536

每年的给付金额

纵轴：元

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。

换算函数和关系式identities3 行 · 2 列

结果表换算函数和关系式
换算函数或关系式	结果
(IA)_x = R_x / D_x	14.175
(IA)¹_x:n = (IA)_x − nE_x[n A_x+n + (IA)_x+n]	0.606539
(DA)¹_x:n = (n+1)A¹_x:n − (IA)¹_x:n	0.400074

各保单年度的给付金额years20 行 · 2 列

结果表各保单年度的给付金额
保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力时 (IA)_x = qv/(1 − pv)²（q = 1 − e^{−μ}，μ = 0.05，i = 5%）
参数年龄 x 0 岁期间终身固定利率 i 5%mu 0.05金额的变化每年递增 1（1, 2, 3, …）给付的种类寿险（死亡给付）第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 5.2491866 5.2491866
允许误差 1×10⁻⁹
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力时 (Iä)_x = 1/(1 − pv)²
参数年龄 x 0 岁期间终身固定利率 i 5%mu 0.05金额的变化每年递增 1（1, 2, 3, …）给付的种类期初付生存年金第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 113.01171 113.01171
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力时 Σ(1+b)^k v^{k+1} p^k q = qv/(1 − (1+b)pv)，b = 3%
参数年龄 x 0 岁期间终身复利递增的比例 b 0.03固定利率 i 5%mu 0.05金额的变化每年按比例 b 复利递增给付的种类寿险（死亡给付）第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 0.69440426 0.69440426
允许误差 1×10⁻⁹
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：2 年递减定期 (DA)¹_{x:2} = 2vq + v²pq（常数死亡力 μ = 0.05，i = 5%）
参数年龄 x 0 岁期间 n 年固定利率 i 5%mu 0.05期间 n 2 年金额的变化每年递减 1（n, n−1, …, 1，只用于定期寿险）给付的种类寿险（死亡给付）第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 0.13497525 0.13497525
允许误差 1×10⁻¹⁰
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 5 条
平台算出的数对得上
pyliferisk 1.13 独立计算：Iaax（第四套 CL2 男，i = 2.5%，x = 30）= S_x/D_x
参数年龄 x 30 岁期间终身固定利率 i 2.5%金额的变化每年递增 1（1, 2, 3, …）给付的种类期初付生存年金生命表第四套非养老类业务一表（男）第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 594.36803 594.36803
允许误差 0.000001
第 6 条
平台算出的数对得上
pyliferisk 1.13 独立计算：Iaaxn（第四套 CL2 女，i = 2.5%，x = 55，n = 20）
参数年龄 x 55 岁期间 n 年固定利率 i 2.5%期间 n 20 年金额的变化每年递增 1（1, 2, 3, …）给付的种类期初付生存年金生命表第四套非养老类业务一表（女）第 1 年的金额 1 元其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv 146.49059 146.49059
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	5.2491866	5.2491866

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	113.01171	113.01171

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	0.69440426	0.69440426

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	0.13497525	0.13497525

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	594.36803	594.36803

项	标准答案	平台算出
精算现值（第 1 年金额为 1）epv	146.49059	146.49059

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：12 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 18 行587 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.insurance_annuity import varying34result = varying.varying_benefits(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=40,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    product="insurance",11    pattern="increasing",12    cover="term",13    n=20,14    growth=0.03,15    timing="annual",16    unit=10000,17)18print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks4.5 节、5.9 节
IFoA CM1 Core ReadingVariable benefits

覆盖的考试公式

LIA-016变额给付：递增保险与递增年金CM1
LIA-017递增定期寿险与递增定期年金CM1
LIA-018按固定复合率递增的给付CM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

(IA)_x、(IA)¹_{x:n}、(DA)¹_{x:n}、(Iä)_x、(Iä)_{x:n}，以及按比例 b 复利递增的寿险和年金（换成利率 j = (1+i)/(1+b) − 1 计算）。同时用换算函数和递推关系式核对。

说明和限制

递增、递减按保单年度：第 k+1 年里死亡给付 k+1（递减：n−k）。连续给付时金额仍按整年变化（(IĀ)，不是连续递增的 (ĪĀ)）。
复利递增：第 k+1 年的金额是 (1+b)^k。它等于按利率 j = (1+i)/(1+b) − 1 算的 A 除以 (1+b)。pyliferisk 的 qAx 不除以 (1+b)，口径差 (1+b) 倍。
期初付年金的复利递增：第 k+1 年给付 (1+b)^k，等于按利率 j 算的 ä。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

pyliferisk1.13.0GPL-3.0-or-later人身险精算：生命表和换算函数（用来校验）
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保险与年金，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“保额每年递增、递减或按固定比例增长的寿险，或者给付每年递增的年金，精算现值是多少？”

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

保单年度	当年金额（第 1 年为 1）
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20