给付现值的分位数和概率 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

给付

给付时点

每年 1 次每月 1 次连续 / 立即给付

其余 2 个参数

保额或年给付元

1 元10,000 万元

看超过精算现值的几倍的概率

0.15

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 670 毫秒 · 11/14 21:29 运行

均值（精算现值，每元）: 0.480461
标准差（每元）: 0.134097
中位数（每元）: 0.442703
95% 分位数（每元）: 0.762145
超过精算现值的概率: 38.02%
超过精算现值 1.2 倍的概率: 19.36%
按金额的 95% 分位数: 7.621 万元

终身寿险 Z的分布函数

纵轴：概率

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。

给付现值的分布函数cdf56 行 · 2 列

结果表给付现值的分布函数
现值（每元）	P(PV ≤ 现值)
0.250879	0.000590379
0.257151	0.00105487
0.263579	0.00182958
0.270169	0.00307915
0.276923	0.0050277
0.283846	0.00796526
0.290942	0.0122475
0.298216	0.0182865
0.305671	0.0265307
0.313313	0.0374354
0.321146	0.0514257
0.329174	0.0688561
0.337404	0.0899738
0.345839	0.11489
0.354485	0.143561
0.363347	0.175789
0.372431	0.211231
0.381741	0.249426
0.391285	0.289819
0.401067	0.331807
0.411094	0.374764
0.421371	0.418081
0.431905	0.461186
0.442703	0.50357
0.453771	0.544792
0.465115	0.583536
0.476743	0.619836
0.488661	0.653606
0.500878	0.684843
0.5134	0.713606
0.526235	0.74
0.539391	0.76416
0.552875	0.786242
0.566697	0.806413
0.580865	0.82484
0.595386	0.84169
0.610271	0.857123
0.625528	0.871287
0.641166	0.884321
0.657195	0.896345
0.673625	0.907463
0.690466	0.917762
0.707727	0.927311
0.72542	0.936164
0.743556	0.94436
0.762145	0.95193
0.781198	0.9589
0.800728	0.965296
0.820747	0.971146
0.841265	0.976486
0.862297	0.981352
0.883854	0.985787
0.905951	0.989833
0.928599	0.993527
0.951814	0.996907
0.97561	1

给付现值的分位数quantiles9 行 · 3 列

结果表给付现值的分位数
分位	现值（每元）	按金额（元）
0.01	0.290942	29,094.22
0.05	0.321146	32,114.58
0.1	0.345839	34,583.89
0.25	0.391285	39,128.49
0.5	0.442703	44,270.3
0.75	0.539391	53,939.06
0.9	0.673625	67,362.49
0.95	0.762145	76,214.48
0.99	0.928599	92,859.94

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

闭式公式：常数死亡力 μ = 0.04、δ = 0.06 时 P(v^T ≤ z) = z^{μ/δ}，u 分位数 = u^{δ/μ}；P(Z > Ā = 0.4) = 1 − 0.4^{2/3}

参数年龄 x 0 岁保额或年给付 1 元固定利率 i 6.18%mu 0.04看超过精算现值的几倍的概率 1给付终身寿险 Z给付时点连续 / 立即给付其余用默认值

项	标准答案	平台算出
超过精算现值的概率p_above	0.45711648	0.45711648
现值（每元）表 quantiles · 第 5 行	0.35355339	0.35355339
现值（每元）表 quantiles · 第 7 行	0.85381497	0.85381497

允许误差 1×10⁻⁷

题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行

第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力时 T 的中位数 = ln2/μ，ā 的中位数 = (1 − 0.5^{δ/μ})/δ = 10.7741；均值 1/(μ+δ) = 10
参数年龄 x 0 岁保额或年给付 1 元固定利率 i 6.18%mu 0.04看超过精算现值的几倍的概率 1给付终身年金 Y给付时点连续 / 立即给付其余用默认值
项标准答案平台算出
均值（精算现值，每元）mean 10 10
现值（每元）表 quantiles · 第 5 行 10.77411 10.77411
允许误差 1×10⁻⁷
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 3 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：A_60 = 0.29028
参数年龄 x 60 岁保额或年给付 1 元固定利率 i 5%死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）看超过精算现值的几倍的概率 1给付终身寿险 Z给付时点每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
均值（精算现值，每元）mean 0.29028 0.29028218
允许误差 0.000006

项	标准答案	平台算出
均值（精算现值，每元）mean	10	10
现值（每元）表 quantiles · 第 5 行	10.77411	10.77411

项	标准答案	平台算出
均值（精算现值，每元）mean	0.29028	0.29028218

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行670 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.insurance_annuity import pv_distribution34result = pv_distribution.pv_percentiles(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=50,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    frac="udd",11    product="whole",12    n=20,13    timing="annual",14    amount=100000,15    multiple=1.2,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks4.4.6 节、5.5 节（分位数）

覆盖的考试公式

LIA-007寿险现值随机变量的方差FAMMAS-ICM1
LIA-013生存年金现值随机变量的方差FAMMAS-ICM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把给付现值看成随机变量：给出均值、标准差、1% 到 99% 的分位数、超过精算现值（或精算现值的若干倍）的概率和分布函数图。

说明和限制

按年或按月给付时现值只取有限个值，分位数是“最小的 z 使 P(PV ≤ z) ≥ u”。
连续给付、固定利率时，终身、定期、两全寿险和终身、定期年金的现值是死亡时间 T 的单调函数，分位数按 T 的分位数精确算；用收益率曲线时按每年 16 个节点的离散分布近似。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保险与年金，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一张寿险或年金保单，给付的现值落在哪个范围？有多大概率超过精算现值或某个金额？”