寿险的精算现值和方差

终身、定期、两全、纯生存或延期寿险，每元保额的精算现值（趸缴纯保费）是多少？给付现值的方差多大？

SOA FAMSOA ALTAMCAS MAS-IIFoA CM1

公式

\displaystyle A_x=\sum_{k\ge0}v^{k+1}{}_kp_x\,q_{x+k}

\displaystyle A_{x:\overline{n}|}=A^1_{x:\overline{n}|}+v^n{}_np_x

\displaystyle A^{(m)1}_{x:\overline{n}|}=\sum_{j=0}^{nm-1}v^{\frac{j+1}{m}}\,{}_{\frac jm}p_x\,{}_{\frac1m}q_{x+\frac jm}

\displaystyle \bar A_x=\int_0^\infty v^t\,{}_tp_x\,\mu_{x+t}\,dt

\displaystyle \operatorname{Var}(Z)=b^2\big({}^2A-A^2\big)

\displaystyle {}_{u|}A_x={}_uE_x\,A_{x+u}

对过的标准答案: 7 条
覆盖的考试公式: 6 个
参数: 11 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

保险的种类

保险期间 n年

终身和延期终身不用

1 年80 年

其余 2 个参数

给付时点

保额 b元

1 元10,000 万元

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 586 毫秒 · 11/14 21:29 运行

每元保额的精算现值 A_{x:n}: 0.617859
趸缴纯保费: 6.179 万元
二阶矩 ²A（每元）: 0.383213
给付现值的方差（每元）: 0.00146254
给付现值的标准差: 3,824.31元
会给付的概率: 100%

两全保险的精算现值随投保年龄（每年 1 次（年末给付 / 年初付））

纵轴：每元保额

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。
年末给付、固定利率时用 pyliferisk 再算一遍：最大差 1.4e-15。

和 pyliferisk 的对照check4 行 · 4 列

结果表和 pyliferisk 的对照
项目	平台	pyliferisk	差
终身寿险 Ax	0.384499	0.384499	-1.44×10⁻¹⁵
定期寿险 Axn	0.047934	0.047934	-2.29×10⁻¹⁶
两全保险 AExn	0.617859	0.617859	-1.11×10⁻¹⁵
纯生存 nEx	0.569925	0.569925	-8.88×10⁻¹⁶

关系式的核对relations7 行 · 3 列

结果表关系式的核对
项目	按关系式	直接算
终身寿险 A_x	0.384499	—
20 年定期 A¹_x:n	0.047934	—
20 年纯生存 nE_x	0.569925	—
60 岁的终身寿险 A_x+n	0.590543	—
A¹_x:n + nE_x·A_x+n（应等于 A_x）	0.384499	0.384499
延期 n\|A_x = nE_x·A_x+n	0.336565	0.336565
两全 A_x:n = A¹_x:n + nE_x	0.617859	0.617859

不同给付时点的精算现值timing5 行 · 5 列

结果表不同给付时点的精算现值
给付时点	精算现值（每元）	二阶矩	标准差（每元）	趸缴纯保费（元）
每年 1 次（年末给付 / 年初付）	0.617859	0.383213	0.0382431	61,785.92
每半年 1 次（m = 2）	0.618157	0.383655	0.0392056	61,815.7
每季 1 次（m = 4）	0.618306	0.383878	0.0396874	61,830.63
每月 1 次（m = 12）	0.618406	0.384027	0.0400088	61,840.6
连续（死亡时立即给付 / 连续给付）	0.618456	0.384101	0.0401696	61,845.59

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

7 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：A_40 = 0.12106，²A_40 = 0.02347
参数年龄 x 40 岁固定利率 i 5%保险的种类终身寿险死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）保额 b 1 元给付时点每年 1 次（年末给付 / 年初付）其余用默认值
项标准答案平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2 0.02347 0.02347105
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.12106 0.12105921
说明：用 Makeham 死亡力独立求和重算为 0.121059、0.023471，和表一致
允许误差 0.000006
第 2 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：A_60 = 0.29028，²A_60 = 0.10834
参数年龄 x 60 岁固定利率 i 5%保险的种类终身寿险死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）保额 b 1 元给付时点每年 1 次（年末给付 / 年初付）其余用默认值
项标准答案平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2 0.10834 0.10834082
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.29028 0.29028218
允许误差 0.000006
第 3 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：20E_50 = 0.34824（v²⁰ · 20p50）
参数年龄 x 50 岁固定利率 i 5%保险的种类纯生存保险死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）保险期间 n 20 年保额 b 1 元给付时点每年 1 次（年末给付 / 年初付）其余用默认值
项标准答案平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.34824 0.34823771
允许误差 0.000006
第 4 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：A_{40:20} = A_40 − 20E_40·A_60 + 20E_40 = 0.12106 − 0.36663 × 0.29028 + 0.36663
参数年龄 x 40 岁固定利率 i 5%保险的种类两全保险死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）保险期间 n 20 年保额 b 1 元给付时点每年 1 次（年末给付 / 年初付）其余用默认值
项标准答案平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.38126464 0.38126309
说明：期望值由表里的 4 位、5 位小数拼出，误差放宽到 3×10⁻⁵
允许误差 0.00003
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力 μ = 0.04、利息力 δ = 0.06 时 Ā = μ/(μ+δ) = 0.4，²Ā = μ/(μ+2δ) = 0.25，Var = 0.25 − 0.16 = 0.09
参数年龄 x 0 岁固定利率 i 6.18%保险的种类终身寿险mu 0.04保额 b 1 元给付时点连续（死亡时立即给付 / 连续给付）其余用默认值
项标准答案平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2 0.25 0.25
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.4 0.4
给付现值的方差（每元）var 0.09 0.09
允许误差 1×10⁻⁷
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 6 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力时每月末给付的终身寿险 A^(12) = (1 − e^{−μ/12}) v^{1/12} / (1 − e^{−μ/12} v^{1/12})（等比级数）
参数年龄 x 0 岁固定利率 i 5%保险的种类终身寿险mu 0.04保额 b 1 元给付时点每月 1 次（m = 12）其余用默认值
项标准答案平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv 0.44958463 0.44958463
允许误差 1×10⁻⁸
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 7 条
平台算出的数对得上
pyliferisk 1.13 独立计算：Axn(第四套 CL2 男，i = 2.5%，x = 30，n = 20)
参数年龄 x 30 岁固定利率 i 2.5%保险的种类定期寿险保险期间 n 20 年保额 b 1 元生命表第四套非养老类业务一表（男）给付时点每年 1 次（年末给付 / 年初付）其余用默认值
项标准答案平台算出
精算现值（每元）表 timing · 第 1 行 0.019422044 0.019422044
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2	0.02347	0.02347105
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.12106	0.12105921

项	标准答案	平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2	0.10834	0.10834082
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.29028	0.29028218

项	标准答案	平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.34824	0.34823771

项	标准答案	平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.38126464	0.38126309

项	标准答案	平台算出
二阶矩 ²A（每元）a2	0.25	0.25
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.4	0.4
给付现值的方差（每元）var	0.09	0.09

项	标准答案	平台算出
每元保额的精算现值 A_{x:n}epv	0.44958463	0.44958463

项	标准答案	平台算出
精算现值（每元）表 timing · 第 1 行	0.019422044	0.019422044

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：11 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 17 行586 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.insurance_annuity import insurance34result = insurance.insurance_epv(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=40,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    frac="udd",11    kind="endowment",12    n=20,13    defer=10,14    timing="annual",15    sum_insured=100000,16)17print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 4 章
IFoA CM1 Core ReadingAssurance and annuity functions

覆盖的考试公式

LIA-001终身寿险/定期寿险/两全保险的精算现值（离散）FAMMAS-ICM1
LIA-002连续型寿险精算现值FAMMAS-ICM1
LIA-003纯生存保险（生存给付）FAMMAS-ICM1
LIA-004每年 m 次给付的寿险FAMCM1
LIA-005保险精算现值之间的关系FAMCM1
LIA-007寿险现值随机变量的方差FAMMAS-ICM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按生命表或 Makeham 模型算终身、定期、两全、纯生存、延期寿险的精算现值、二阶矩、方差；年末给付、每年 m 次或死亡时立即给付；并验证 A_x = A¹_{x:n} + nE_x A_{x+n} 等关系。

说明和限制

保额从第 1 个保单年度起不变。递增、递减和复利递增的保额见“变额寿险和变额年金”。
方差按二倍利息力算：²A 是把 v 换成 v² 的同一个精算现值。用收益率曲线时 ²A 就是 E[v(T)²]。
两全保险的方差按一个现值随机变量（死亡给付和满期金只会发生一个）算，不是两部分方差相加。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

pyliferisk1.13.0GPL-3.0-or-later人身险精算：生命表和换算函数（用来校验）
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保险与年金，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“终身、定期、两全、纯生存或延期寿险，每元保额的精算现值（趸缴纯保费）是多少？给付现值的方差多大？”