生存年金的精算现值和方差

每年给付 1 元的终身、定期、延期或保证给付的生存年金，精算现值是多少？给付现值的方差多大？

SOA FAMSOA ALTAMCAS MAS-IIFoA CM1

公式

\displaystyle \ddot a_x=\sum_{k\ge0}v^k{}_kp_x=\frac{1-A_x}{d}

\displaystyle \ddot a^{(m)}_{x:\overline{n}|}=\sum_{j=0}^{nm-1}\tfrac1m v^{j/m}{}_{j/m}p_x=\frac{1-A^{(m)}_{x:\overline{n}|}}{d^{(m)}}

\displaystyle \bar a_x=\int_0^\infty v^t{}_tp_x\,dt=\frac{1-\bar A_x}{\delta}

\displaystyle \ddot a_{\overline{x:\overline{g}|}}=\ddot a_{\overline{g}|}+{}_gE_x\,\ddot a_{x+g}

\displaystyle \operatorname{Var}(\ddot Y)=\frac{{}^2A-A^2}{d^2}

\displaystyle \operatorname{Var}(\bar Y)=\frac{{}^2\bar A-\bar A^2}{\delta^2}

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 4 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

死亡率

生命表（死亡率选平台生命表时用）

年龄 x岁

0 岁100 岁

折现

固定利率 i%

0%12%

整数年龄之间的假设（生命表用）

死亡均匀分布（UDD）常数死亡力

年金的种类

给付的年数 n年

定期年金用

1 年80 年

其余 3 个参数

每年给付几次

期初付还是期末付

期初付期末付

每年给付的金额元

1 元1,000 万元

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

真实数据

《中国人身保险业经验生命表（2025）》（中国精算师协会，金规〔2025〕21号）

insured-life-mortality-2025

输出

用时 558 毫秒 · 11/14 21:29 运行

每年 1 元的精算现值: 16.7877
按每年给付金额的精算现值（趸缴纯保费）: 20.15 万元
给付现值的方差（每年 1 元）: 30.5563
给付现值的标准差: 6.633 万元
领到的现值超过精算现值的概率: 57.23%
给付现值的中位数（每年 1 元）: 17.7654

终身年金的精算现值随年龄

纵轴：精算现值

死亡率：第四套非养老类业务一表（男）。
整数年龄之间按死亡均匀分布（UDD）。生命表到 105 岁为止，最后一岁的 q = 1。
年缴、固定利率时用 pyliferisk 再算一遍：16.78774658，差 -1.4e-14。

关系式的核对relations5 行 · 3 列

结果表关系式的核对
关系式	按关系式	直接算
(1 − A)/d^(m)（A 是同期间的终身或两全寿险）	16.7877	16.7877
方差 (²A − A²)/(d^(m))²	30.5563	30.5563
期末付 = 期初付 − 1	14.7877	16.7877
递推 ä_x = 1 + v p_x ä_x+1	16.7877	16.7877
ä_x:20 + 20E_x·ä_x+20（应等于终身年金）	16.7877	16.7877

不同给付方式的年金精算现值timing9 行 · 4 列

结果表不同给付方式的年金精算现值
给付方式	精算现值（每年 1 元）	标准差	按给付金额（元）
每年 1 次，期初付	16.7877	5.52777	201,452.96
每年 1 次，期末付	15.7877	5.52777	189,452.96
每半年 1 次，期初付	16.5353	5.53011	198,423.37
每半年 1 次，期末付	16.0353	5.53011	192,423.37
每季 1 次，期初付	16.4097	5.53069	196,915.97
每季 1 次，期末付	16.1597	5.53069	193,915.97
每月 1 次，期初付	16.3261	5.53086	195,913.78
每月 1 次，期末付	16.2428	5.53086	194,913.78
连续	16.2845	5.53089	195,413.5

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：ä_40 = 18.4578，Var = (²A_40 − A_40²)/d² 用 A_40 = 0.12106、²A_40 = 0.02347
参数年龄 x 40 岁每年给付的金额 1 元期初付还是期末付期初付固定利率 i 5%年金的种类终身年金死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）每年给付几次每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 18.4578 18.457757
给付现值的方差（每年 1 元）var 3.8871841 3.8877314
说明：方差由表里 5 位小数拼出（约 3.8872），独立重算为 3.88773；误差放宽到 1.5×10⁻³
允许误差 0.0015
第 2 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：a_60 = ä_60 − 1 = 13.9041
参数年龄 x 60 岁每年给付的金额 1 元期初付还是期末付期末付固定利率 i 5%年金的种类终身年金死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）每年给付几次每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 13.9041 13.904074
允许误差 0.00006
第 3 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：ä_10 确定年金 8.10782 + 10E_40 × ä_50 = 0.60920 × 17.0245
参数年龄 x 40 岁每年给付的金额 1 元期初付还是期末付期初付保证给付的年数 g 10 年固定利率 i 5%年金的种类保证给付的终身年金（前 g 年不论生死都给付）死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）每年给付几次每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 18.479147 18.47925
允许误差 0.0002
第 4 条
平台算出的数对得上
AMLCR 第 2 版附录 D 标准终极生命表（SULT，i = 5%）：20|ä_40 = 20E_40 × ä_60 = 0.36663 × 14.9041
参数年龄 x 40 岁每年给付的金额 1 元延期的年数 u 20 年期初付还是期末付期初付固定利率 i 5%年金的种类延期终身年金死亡率标准终极生存模型（Makeham，AMLCR）每年给付几次每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 5.4642902 5.4642815
允许误差 0.0002
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式：常数死亡力 μ = 0.04、δ = 0.06 时 ā = 1/(μ+δ) = 10，Var = (²Ā − Ā²)/δ² = (0.25 − 0.16)/0.0036 = 25
参数年龄 x 0 岁每年给付的金额 1 元固定利率 i 6.18%年金的种类终身年金mu 0.04每年给付几次连续给付其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 10 10
给付现值的方差（每年 1 元）var 25 25
允许误差 0.000001
题里用了页面上没有的参数（mu），平台在测试里运行
第 6 条
平台算出的数对得上
pyliferisk 1.13 独立计算：aaxn(第四套 CL2 女，i = 2.5%，x = 55，n = 20)
参数年龄 x 55 岁每年给付的金额 1 元期初付还是期末付期初付固定利率 i 2.5%年金的种类定期年金（n 年）给付的年数 n 20 年生命表第四套非养老类业务一表（女）每年给付几次每年 1 次其余用默认值
项标准答案平台算出
每年 1 元的精算现值epv 15.422041 15.422041
允许误差 1×10⁻⁷

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	18.4578	18.457757
给付现值的方差（每年 1 元）var	3.8871841	3.8877314

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	13.9041	13.904074

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	18.479147	18.47925

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	5.4642902	5.4642815

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	10	10
给付现值的方差（每年 1 元）var	25	25

项	标准答案	平台算出
每年 1 元的精算现值epv	15.422041	15.422041

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行558 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.insurance_annuity import annuity34result = annuity.annuity_epv(5    mortality="table",6    table="2025-CL2-M",7    age=60,8    curve="flat",9    interest=0.025,10    frac="udd",11    kind="whole",12    n=20,13    defer=5,14    guarantee=10,15    timing="annual",16    due="due",17    amount=12000,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库pyliferisk1.13.0· GPL-3.0-or-later numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks第 5 章
IFoA CM1 Core ReadingLife annuities

覆盖的考试公式

LIA-010生存年金精算现值（离散与连续）FAMMAS-ICM1
LIA-011年金与寿险的关系FAMMAS-ICM1
LIA-012年金关系与递推FAMCM1
LIA-013生存年金现值随机变量的方差FAMMAS-ICM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

终身、定期、延期、保证给付的生存年金；期初付、期末付、每年 m 次、连续给付。给出精算现值、方差、分位数，并验证 ä = (1 − A)/d、a_x = ä_x − 1、ä_x = ä_{x:n} + nE_x ä_{x+n}、保证年金 = ä_n + nE_x ä_{x+n} 等关系。

说明和限制

保证给付：开始给付时活着，前 g 年不论生死都给付，之后活着才给付。延期且有保证的年金这里没有做。
方差直接从给付现值的分布算；能用 (²A − A²)/d² 的种类（终身、定期，期初付、连续）另外列出公式的结果作对照。
连续给付时期初付和期末付相同。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

insured-life-mortality-2025 insured-life-mortality treasury-yield-curve

开源库和版本

pyliferisk1.13.0GPL-3.0-or-later人身险精算：生命表和换算函数（用来校验）
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

保险与年金，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每年给付 1 元的终身、定期、延期或保证给付的生存年金，精算现值是多少？给付现值的方差多大？买年金的人领回本金的概率多大？”