每年 m 次给付：UDD、Woolhouse 和理赔提前近似

参考

• Dickson、Hardy、Waters：Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks4.4 节、5.11–5.12 节
• IFoA CM1 Core ReadingWoolhouse's formula

覆盖的考试公式

• LIA-008UDD 下连续保险与离散保险的换算FAMCM1
• LIA-009理赔提前（claims acceleration）近似FAM
• LIA-014UDD 下每年 m 次付年金FAMCM1
• LIA-015Woolhouse 近似FAMCM1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按所选死亡率算每年 m 次的年金 ä^(m)、连续年金 ā、每年 m 次和立即给付的寿险的精确值，再和 UDD 公式 α(m)ä − β(m)、Woolhouse 2 项和 3 项公式、i/i^(m) 和 i/δ 换算、理赔提前 (1+i)^((m−1)/2m) 比较。

说明和限制

• 精确值按所选死亡率逐个付款时点（或逐个死亡时间节点）求和或积分。生命表在整数年龄之间按所选的分数年龄假设。
• 生命表下 UDD 公式在 UDD 假设下是精确的；Woolhouse 公式里的 μ_x 用 −½(ln p_{x−1} + ln p_x) 近似。Makeham 模型用精确的 μ_x。
• pyliferisk 的 m 次年金用 Woolhouse 的前 2 项（不含 μ 和 δ 的项）。
• UDD 的 i/δ 只用于死亡给付部分，两全保险的满期金不乘。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

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开源库和版本

• pyliferisk1.13.0GPL-3.0-or-later人身险精算：生命表和换算函数（用来校验）
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算