加权最小二乘：误差方差不相同时的回归
误差的方差随解释变量变大（异方差）时，系数和标准误怎么算才对？
SOA SRMCAS MAS-I
- 对过的标准答案
- 2 条
- 覆盖的考试公式
- 1 个
- 参数
- 11 个
- 开源库
- 2 个
01当场运行
改一个参数，当场重算
正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。
04出处和说明
公式从哪里来，有什么限制
列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。
参考
- Frees：Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications5.7 Heteroscedasticity
- White (1980) A heteroskedasticity-consistent covariance matrix estimator
覆盖的考试公式
- REG-013Breusch-Pagan 异方差检验与加权最小二乘SRM
公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。
这个方法算什么
先用普通最小二乘拟合并做 Breusch-Pagan 检验，再按设定的方差结构（方差 ∝ x、∝ x²、从数据估计、或自己给权重）做加权最小二乘，和普通最小二乘的系数、普通标准误、White 稳健标准误放在一起比较。
说明和限制
- 权重 w_i 和误差方差成反比。保险里常见的例子：因变量是平均值时，权重取求平均用的件数或风险单位。
- 方差 ∝ x 和 ∝ x² 用第一个解释变量 x1，要求 x1 都大于 0；不满足时改用从数据估计的方差函数，并在说明里写明。
- 从数据估计（FGLS）：对普通最小二乘的 ln e² 用全部解释变量回归，权重取拟合值的指数的倒数。
- White 稳健标准误不改系数，只改标准误；样本大时，即使方差结构设错也能用。
数据
看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。
05同族的方法
广义线性模型，还有 21 个方法
同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。
在智能体里这样问“误差的方差随解释变量变大（异方差）时，系数和标准误怎么算才对？”
- GLM 费率相对数每个风险因子让费率高多少、低多少？
- 方差分析：单因素、双因素和协方差分析（ANCOVA）几组的均值有没有差别？两个因子和它们的交互作用各自显著吗？扣掉一个连续变量的影响以后，组间还有没有差别？5条标准答案
- BLUP 和信度：随机效应模型给出 Bühlmann-Straub 的信度保费Bühlmann-Straub 的信度保费和线性混合模型的 BLUP 是什么关系？用同一份数据算出来一样吗？4条标准答案
- Box-Cox 变换：因变量取什么幂次最合适因变量右偏、方差随均值变大时，取对数、开方还是别的幂次，回归的残差才接近正态和同方差？2条标准答案
- GLM 加信度：费率因子用 GLM，水平很多的因子用信度区县、车型代码这种水平很多、很多水平数据很少的因子，怎么和 GLM 的费率因子一起定价？4条标准答案
- 指数分散族：θ、b(θ)、方差函数和典则连接泊松、伽马、Tweedie 这些分布怎么写成指数分散族？均值、方差和 b(θ) 是什么关系，各自的典则连接是什么？6条标准答案
- 广义线性模型的拟合和检验：偏差、似然比、Wald、AIC选定分布和连接函数以后，GLM 的系数和相对数是多少？模型拟合得好不好，每个因子该不该留，和只有截距的模型比强多少？4条标准答案
- 交互作用的发现：哪两个因子不是简单相乘乘法费率表假设各因子的效应互相独立。哪两个因子之间有交互作用（例如年轻人开高性能车特别危险），要不要加进模型？2条标准答案
- 迭代加权最小二乘（IRLS）：广义线性模型怎么算出来广义线性模型的系数没有闭式解，计算机是怎么一步一步迭代出来的？每一步的工作变量和权重是什么，几步收敛？3条标准答案
- 定价模型的检验：提升图、双提升图、洛伦兹曲线和基尼系数新的定价模型比现在的好吗？它能不能把高风险和低风险分开，按预测分组以后实际和预测对得上吗？1条标准答案
- 线性回归：最小二乘、t 检验、F 检验和 ANOVA 表因变量和几个解释变量是什么线性关系？每个系数显著吗，模型解释了多少变化，新的点预测多少、区间多宽？5条标准答案
- 线性混合模型的协方差结构：对角、复合对称、AR(1)、随机斜率同一个风险几期的观测，按不同的模型假设，协方差矩阵和相关系数是什么样？4条标准答案
- 二分类回归：logistic、probit、cloglog 和 ROC 曲线一件事发生没发生（出险、退保、通过考试）和哪些因素有关？比值比是多少，模型分得开 0 和 1 吗，阈值取多少？4条标准答案
- 线性混合模型：随机截距、随机斜率和 BLUP数据按组（公司、车队、地区）分开，组内的观测相关时，怎么估计固定效应、方差成分和每组的随机效应？5条标准答案
- 多分类回归：多项 logit 和有序 logit（比例优势）结果有三类以上（例如理赔结案方式、风险等级、政党认同）时，解释变量怎么影响落在每一类的概率？类别有顺序时怎么用上顺序？3条标准答案
- 过度离散的次数模型：拟泊松、负二项、零膨胀和 hurdle出险次数（或门诊次数）的方差比均值大很多、0 特别多时，泊松模型错在哪里？拟泊松、负二项、零膨胀泊松、hurdle 模型哪个更合适？3条标准答案
- GLM 费率表：相对数、基准水平、置信区间和实际/预期用 GLM 定好的费率表长什么样：基准水平是多少，每个因子水平的相对数和置信区间多少，和单因素分析差多少，按因子看实际和预期对得上吗？4条标准答案
- 回归诊断：杠杆值、Cook 距离、VIF、异方差和正态性检验线性回归的假设成立吗？哪些观测影响太大，变量之间是不是太共线，误差的方差相同吗、独立吗、正态吗？3条标准答案
- 正则化回归：岭回归、Lasso 和弹性网变量多、相互共线时，怎么把系数往 0 收缩来换更稳的预测？惩罚多大合适，Lasso 会留下哪些变量？5条标准答案
- 多项式和样条：连续变量的非线性效应一个连续变量（例如驾驶人年龄）和结果不是直线关系时，用多项式、回归样条还是平滑样条拟合，各用掉多少自由度？3条标准答案
- 变量选择：最优子集、逐步回归和交叉验证一堆候选的解释变量里，留哪几个？按 Cp、AIC、BIC、调整 R² 和交叉验证分别选出来的模型一样吗？3条标准答案