指数分散族：θ、b(θ)、方差函数和典则连接

泊松、伽马、Tweedie 这些分布怎么写成指数分散族？均值、方差和 b(θ) 是什么关系，各自的典则连接是什么？

SOA SRMSOA PACAS 5CAS MAS-IIFoA CS1IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 6 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 7 个
开源库: 3 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

分布

均值 μ

0.001100 万

离散参数 φ

正态是 σ²，伽马是 1/α，逆高斯是 1/λ

0.0011,000

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 808 毫秒 · 11/14 22:25 运行

自然参数 θ: -0.5
累积函数 b(θ): 0.693147
a(φ): 0.5
b'(θ)（数值求导，应等于 μ）: 2
V(μ) = b''(θ): 4
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ): 2
scipy 算的方差: 2
典则连接: −1/μ

密度函数

纵轴：密度

数值验证：μ = b'(θ)，Var = a(φ)b''(θ)check4 行 · 3 列

结果表数值验证：μ = b'(θ)，Var = a(φ)b''(θ)
量	闭式	数值求导
均值 μ	2	2
方差函数 V(μ) = b''(θ)	4	4
方差 a(φ)V(μ)	2	2
方差（scipy 的分布直接算）	2	—

常用分布族的指数分散族写法families7 行 · 7 列

结果表常用分布族的指数分散族写法
分布	自然参数 θ	累积函数	a(φ)	方差函数	典则连接	Tweedie 幂 p
正态 N(μ, σ²)	θ = μ	b(θ) = θ²/2	a(φ) = σ²	V(μ) = 1	恒等 μ	0
泊松 Poisson(μ)	θ = ln μ	b(θ) = e^θ	a(φ) = 1	V(μ) = μ	对数 ln μ	1
二项 Bin(m, μ)/m	θ = ln(μ/(1−μ))	b(θ) = ln(1 + e^θ)	a(φ) = 1/m	V(μ) = μ(1 − μ)	logit	—
伽马 Gamma(α, μ/α)	θ = −1/μ	b(θ) = −ln(−θ)	a(φ) = 1/α	V(μ) = μ²	倒数 1/μ（差一个负号）	2
逆高斯 IG(μ, λ)	θ = −1/(2μ²)	b(θ) = −√(−2θ)	a(φ) = 1/λ	V(μ) = μ³	倒数平方 1/μ²	3
负二项 NB(μ, α)	θ = ln(αμ/(1 + αμ))	b(θ) = −ln(1 − e^θ)/α	a(φ) = 1	V(μ) = μ + αμ²	ln(αμ/(1 + αμ))	—
Tweedie(μ, φ, p)	θ = μ^{1−p}/(1 − p)	b(θ) = μ^{2−p}/(2 − p)	a(φ) = φ	V(μ) = μ^p	μ^{1−p}/(1 − p)（常用对数连接）	1 < p < 2

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
手算：泊松 μ = 3，θ = ln 3 = 1.0986，b(θ) = e^θ = 3，Var = b''(θ) = 3
参数分布泊松均值 μ 3其余用默认值
项标准答案平台算出
累积函数 b(θ)b 3 3
自然参数 θtheta 1.0986123 1.0986123
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var 3 3
scipy 算的方差var_scipy 3 3
允许误差 0.000001
第 2 条
这次算出的数对得上
手算：伽马 μ = 2，φ = 0.5（形状 α = 2，尺度 1），θ = −1/μ = −0.5，b = −ln(0.5) = 0.6931，Var = φμ² = 2
参数分布伽马均值 μ 2离散参数 φ 0.5其余用默认值
项标准答案这次算出
累积函数 b(θ)b 0.69314718 0.69314718
自然参数 θtheta -0.5 -0.5
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var 2 2
scipy 算的方差var_scipy 2 2
允许误差 0.000001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：逆高斯 μ = 2，φ = 0.25，θ = −1/(2μ²) = −0.125，b = −√(−2θ) = −0.5，Var = φμ³ = 2
参数分布逆高斯均值 μ 2离散参数 φ 0.25其余用默认值
项标准答案平台算出
累积函数 b(θ)b -0.5 -0.5
自然参数 θtheta -0.125 -0.125
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var 2 2
scipy 算的方差var_scipy 2 2
允许误差 0.000001
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：二项比例 μ = 0.3，m = 10，θ = ln(0.3/0.7)，b = ln(1 + e^θ) = ln(10/7)，Var(Y/m) = 0.3 × 0.7/10 = 0.021
参数分布二项（比例 Y/m）二项的试验次数 m 10二项的均值 μ 0.3其余用默认值
项标准答案平台算出
累积函数 b(θ)b 0.35667494 0.35667494
自然参数 θtheta -0.84729786 -0.84729786
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var 0.021 0.021
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
累积函数 b(θ)b	3	3
自然参数 θtheta	1.0986123	1.0986123
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	3	3
scipy 算的方差var_scipy	3	3

项	标准答案	这次算出
累积函数 b(θ)b	0.69314718	0.69314718
自然参数 θtheta	-0.5	-0.5
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	2	2
scipy 算的方差var_scipy	2	2

项	标准答案	平台算出
累积函数 b(θ)b	-0.5	-0.5
自然参数 θtheta	-0.125	-0.125
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	2	2
scipy 算的方差var_scipy	2	2

项	标准答案	平台算出
累积函数 b(θ)b	0.35667494	0.35667494
自然参数 θtheta	-0.84729786	-0.84729786
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	0.021	0.021

第 5 条

平台算出的数对得上

手算：负二项 μ = 2，α = 0.5，θ = ln(αμ/(1 + αμ)) = ln 0.5，b = −ln(1 − e^θ)/α = 2 ln 2，Var = μ + αμ² = 4

参数负二项的 α 0.5分布负二项（α 已知）均值 μ 2其余用默认值

项	标准答案	平台算出
累积函数 b(θ)b	1.3862944	1.3862944
自然参数 θtheta	-0.69314718	-0.69314718
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	4	4
scipy 算的方差var_scipy	4	4
数值求导表 check · 第 1 行	2	2
数值求导表 check · 第 2 行	4	4.0000001

允许误差 0.000001

第 6 条
平台算出的数对得上
手算：Tweedie μ = 2，φ = 0.5，p = 1.5，θ = μ^{−0.5}/(−0.5) = −1.4142，Var = φμ^p = 1.4142
参数分布 Tweedie（1 < p < 2）均值 μ 2Tweedie 的方差幂 p 1.5离散参数 φ 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
自然参数 θtheta -1.4142136 -1.4142136
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var 1.4142136 1.4142136
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
自然参数 θtheta	-1.4142136	-1.4142136
方差 Var(Y) = a(φ)V(μ)var	1.4142136	1.4142136

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行808 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.glm import glm_theory34result = glm_theory.exponential_family(5    dist="gamma",6    mu=2,7    q=0.3,8    m=10,9    phi=0.5,10    alpha=0.5,11    p=1.5,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

McCullagh、Nelder：Generalized Linear Models第 2 章
Goldburd、Khare、Tevet：GLMs for Insurance Rating（CAS Monograph 5）第 2 章
Jørgensen (1987) Exponential dispersion models

覆盖的考试公式

REG-019指数族与 GLM 的均值方差SRMPACAS5MAS-ICS1SP8
REG-020典型连接函数与 Tweedie 方差幂SRMPAMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

给一个分布和它的均值、离散参数，算自然参数 θ、累积函数 b(θ)、a(φ)，用数值求导验证 μ = b'(θ)、Var(Y) = a(φ)b''(θ)，并和 scipy 的分布直接算出的方差对照。另列 7 个常用分布族的典则连接、方差函数和 Tweedie 幂。

说明和限制

伽马的典则连接是 −1/μ。不同教材差一个负号（CS1 写 1/μ，MAS-I 写 −1/μ），对模型没有影响。保险定价几乎都用对数连接，它不是伽马的典则连接。
二项按比例 Y/m 写：a(φ) = 1/m，Var(Y/m) = μ(1 − μ)/m。
负二项只有在 α 已知时才是指数分散族；α 要估计时用 glm.overdispersion。
b'(θ) 和 b''(θ) 用中心差分数值求导，和闭式的 μ、V(μ) 对照。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

tweedie0.0.9BSD费率厘定：Tweedie 分布的密度和似然
scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

广义线性模型，还有 21 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“泊松、伽马、Tweedie 这些分布怎么写成指数分散族？均值、方差和 b(θ) 是什么关系，各自的典则连接是什么？”