线性混合模型：随机截距、随机斜率和 BLUP

参考

• Frees：Longitudinal and Panel Data（2004）第 3 章 Models with random effects；第 4 章 Prediction and Bayesian inference
• Pinheiro、Bates：Mixed-Effects Models in S and S-PLUS（2000）2.4 Hypothesis tests and confidence intervals
• Self、Liang (1987) Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions

覆盖的考试公式

• LMM-001线性混合模型与隐含边际模型MAS-II
• LMM-003ML 与 REML 对数似然MAS-II
• LMM-004固定效应 GLS 估计（BLUE）MAS-II
• LMM-005随机效应的 EBLUP 与收缩均值MAS-II
• LMM-006组内相关系数（ICC）MAS-II
• LMM-007LMM 的似然比、Wald 与 F 检验（含边界混合卡方）MAS-II

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对分组数据拟合线性混合模型（随机截距或随机截距加斜率），用 ML 或 REML 估计方差成分，给出固定效应的 GLS 估计和标准误、组内相关系数（ICC）、每组随机效应的 BLUP 和收缩系数，并用似然比检验判断随机效应是否需要（方差参数在边界上，用混合卡方分布）。

说明和限制

• β 和 σ² 有显式解，只对 Ψ = D/σ² 的 Cholesky 因子做数值优化。随机截距的方差可以是 0（在边界上）。
• REML 的对数似然和 statsmodels 的 MixedLM 用同一个写法：ℓ_REML = ℓ_ML(β̂) + (p/2) ln 2π − ½ ln|Σ X'V⁻¹X|，所以和 ML 的值不能直接比。
• 比较固定效应不同的两个模型用 ML。REML 的似然只能比较固定效应相同、随机效应不同的模型。
• 检验方差 = 0 时，原假设在参数空间的边界上，似然比统计量不服从 χ²(k)。p 值取 0.5 χ²(k−1) + 0.5 χ²(k) 的混合分布；用普通的 χ²(k) 会偏保守。
• 只有随机截距时，BLUP 等于组内平均残差乘收缩系数 Z_i = m_i/(m_i + σ²/σ_u²)，m_i 是组内权重的合计。这就是 Bühlmann-Straub 的信度因子（见 glm.blup_credibility）。
• 固定效应的标准误用 σ̂²(Σ X'H⁻¹X)⁻¹，没有考虑方差参数估计的误差；组少时偏小。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

• statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算