广义线性模型的拟合和检验：偏差、似然比、Wald、AIC

参考

• Goldburd、Khare、Tevet：GLMs for Insurance Rating（CAS Monograph 5）第 2–6 章
• McCullagh、Nelder：Generalized Linear Models第 2 章
• Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）11.2–11.3
• Frees：Regression Modeling with Actuarial and Financial Applications第 11–13 章

覆盖的考试公式

• REG-019指数族与 GLM 的均值方差SRMPACAS5MAS-ICS1SP8
• REG-021带偏移量的泊松 GLMSRMPACAS5MAS-I
• REG-025偏差、标度偏差与偏差检验SRMPAMAS-ICS1
• REG-026GLM 似然比检验、伪 R² 与 Wald 检验SRMMAS-I
• REG-027Pearson 卡方统计量与 Pearson/偏差残差SRMPAMAS-ICS1
• REG-028AIC 与 BIC（对数似然形式）SRMPAMAS-ICS1CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对分格的保险数据拟合广义线性模型（泊松、拟泊松、负二项、伽马、逆高斯、Tweedie、正态，可选连接函数）。给出系数、相对数和置信区间，偏差、标度偏差、Pearson 卡方、φ 的估计、对数似然、AIC、BIC、伪 R²；整体的似然比、计分检验，每个因子的 Wald 检验和去掉它的偏差检验；Pearson、偏差、Anscombe 和标准化偏差残差。

说明和限制

• 数据按因子的组合汇总成格子。泊松、伽马、Tweedie 的系数在汇总前后完全相同（同一格的均值相同），偏差和残差按格子算。
• φ：泊松、负二项取 1；拟泊松和其他分布用 Pearson 卡方 / (n − p)。标准误按 φ̂ 放大。
• AIC = −2ℓ + 2p，p 只数 β 的个数（和 statsmodels 的 GLM 相同）；BIC = −2ℓ + p ln n，n 是格子数。拟泊松没有似然，AIC 按泊松的似然算，只作参考。
• φ 已知（泊松、负二项）时，去掉一个因子的检验用偏差之差 ~ χ²_q；φ 要估计时用 F = (D_R − D_F)/(q φ̂)。
• Anscombe 残差只对方差是 μ 的幂的分布（正态、泊松、伽马、逆高斯、Tweedie）有定义。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

• tweedie0.0.9BSD费率厘定：Tweedie 分布的密度和似然
• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算