迭代加权最小二乘（IRLS）：广义线性模型怎么算出来

参考

• Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）11.2 Poisson regression model；11.3 Multiplicative tariff
• McCullagh、Nelder：Generalized Linear Models2.5 Fitting

覆盖的考试公式

• REG-024GLM 迭代加权最小二乘（计分法）MAS-I
• REG-021带偏移量的泊松 GLMSRMPACAS5MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

把 Fisher 计分法写成迭代加权最小二乘：每一步算工作变量 z 和权重 W，解一次加权最小二乘，列出每一步的系数和偏差，收敛后检查得分方程 Σ(y − μ)x = 0，并和 statsmodels 的 GLM 结果逐项对比。

说明和限制

• 初始值取 μ⁰ = y + 0.1ȳ（避免 0 取对数）。偏差变大或均值不合法时步长减半。收敛判据：相邻两步偏差的相对变化小于 10⁻¹⁰。
• 典则连接时 Fisher 计分和 Newton-Raphson 完全相同（观测信息 = 期望信息）。
• 泊松用次数作因变量、ln(风险暴露) 作偏移量；其他分布用频率 = 次数/风险暴露作因变量、风险暴露作权重。泊松两种写法的系数相同。
• statsmodels 的结果在运行时另算一遍，和这里手写的迭代逐项对比。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

• statsmodels0.15.0BSD-3-Clause费率厘定：广义线性模型
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算