变换后的分布：乘常数、取幂、取倒数、取指数 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

X 的分布

尺度 θ

Cauchy 的尺度、逆高斯的形状也用 θ

0100,000 万

变换

变换的常数 c

乘的数，或幂的 τ

0.011,000

当前选项用不到的 9 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 839 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:25 运行

Y 的分布: 威布尔分布（τ = 2, θ = 31.6228）
Y 的尺度参数 θ: 31.6228
E[Y]: 28.025
Var(Y): 214.602
Y 的中位数: 26.3277
Y 的 99% 分位数: 67.8614
两种算法的密度最大相对差: 1.09×10⁻¹⁵

Y 的密度

变量替换
威布尔分布

纵轴：f_Y(y)

X 是指数分布（θ = 1000）。
Y 是威布尔分布（τ = 2, θ = 31.6228）。

变换前后的分位数quantiles6 行 · 4 列

结果表变换前后的分位数
概率	X 的分位数	Y = g(X) 的分位数	按 Y 的分布算
0.1	105.361	10.2645	10.2645
0.25	287.682	16.9612	16.9612
0.5	693.147	26.3277	26.3277
0.75	1,386.29	37.233	37.233
0.9	2,302.59	47.9853	47.9853
0.99	4,605.17	67.8614	67.8614

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
手算：指数 θ = 1000 的平方根是威布尔 τ = 2、θ = √1000；中位数 √(1000 ln 2)，均值 √1000 Γ(1.5)
参数变换的常数 c 2X 的分布指数分布 Exp(θ)尺度 θ 1,000变换取幂：Y = X^{1/c}（c 就是新的形状参数 τ）其余用默认值
项标准答案这次算出
E[Y]mean 28.024956 28.024956
Y 的中位数median 26.327688 26.327688
Y 的尺度参数 θnamed_theta 31.622777 31.622777
允许误差 0 + 1×10⁻⁹×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：伽马 α = 2、θ = 50 乘 1.1 得 θ = 55，均值 αθ，方差 αθ²
参数形状 α 2变换的常数 c 1.1X 的分布伽马分布 Gamma(α, θ)尺度 θ 50变换乘常数：Y = cX（通胀、换币种）其余用默认值
项标准答案平台算出
E[Y]mean 110 110
Y 的尺度参数 θnamed_theta 55 55
Var(Y)var 6,050 6,050
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：1/Gamma(3, 0.01) 是逆伽马(3, 100)，均值 θ/(α−1) = 50，方差 θ²/((α−1)²(α−2)) = 2500
参数形状 α 3X 的分布伽马分布 Gamma(α, θ)尺度 θ 0.01变换取倒数：Y = 1/X（“逆”分布）其余用默认值
项标准答案平台算出
E[Y]mean 50 50
Y 的尺度参数 θnamed_theta 100 100
Var(Y)var 2,500 2,500
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式：e^{N(1, 0.5²)} 是对数正态，均值 e^{μ+σ²/2}，中位数 e^μ
参数X 的分布正态分布 N(μ, σ)μ 1σ 0.5变换取指数：Y = e^X其余用默认值
项标准答案平台算出
E[Y]mean 3.0802168 3.0802168
Y 的中位数median 2.7182818 2.7182818
允许误差 1×10⁻⁹
第 5 条
平台算出的数对得上
手算：X ~ Exp(θ = 0.5)，P(e^X > y) = y^{−2}，是单参数 Pareto(α = 2, θ = 1)，均值 αθ/(α−1) = 2
参数X 的分布指数分布 Exp(θ)尺度 θ 0.5变换取指数：Y = e^X其余用默认值
项标准答案平台算出
E[Y]mean 2 2
允许误差 1×10⁻⁹
第 6 条
平台算出的数对得上
手算：1/X 的中位数是 X 的中位数 θ(2^{1/α} − 1) 的倒数
参数形状 α 3X 的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）尺度 θ 200变换取倒数：Y = 1/X（“逆”分布）其余用默认值
项标准答案平台算出
Y 的中位数median 0.019236611 0.019236611
允许误差 1×10⁻¹²

项	标准答案	这次算出
E[Y]mean	28.024956	28.024956
Y 的中位数median	26.327688	26.327688
Y 的尺度参数 θnamed_theta	31.622777	31.622777

项	标准答案	平台算出
E[Y]mean	110	110
Y 的尺度参数 θnamed_theta	55	55
Var(Y)var	6,050	6,050

项	标准答案	平台算出
E[Y]mean	50	50
Y 的尺度参数 θnamed_theta	100	100
Var(Y)var	2,500	2,500

项	标准答案	平台算出
E[Y]mean	3.0802168	3.0802168
Y 的中位数median	2.7182818	2.7182818

项	标准答案	平台算出
E[Y]mean	2	2

项	标准答案	平台算出
Y 的中位数median	0.019236611	0.019236611

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行839 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import transform34result = transform.transform(5    dist="exponential",6    theta=1000,7    alpha=3,8    tau=2,9    gamma=2,10    mu=4,11    sigma=1,12    a=2,13    b=3,14    alpha1=2,15    alpha2=3,16    transform="power",17    c=2,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.3 节构造新分布的方法
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models5.2 节 Creating new distributions

覆盖的考试公式

PRB-002随机变量变换的密度FAMASTAMCS1
FRS-001缩放与变换后分布FAMASTAMMAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用变量替换公式算 Y = g(X) 的密度，认出它在分布库里的名字和参数（例如指数取幂得威布尔、伽马取倒数得逆伽马、正态取指数得对数正态），再对照两种算法。

说明和限制

取幂和取倒数只对正的随机变量。尺度参数 θ 乘 c 以后，所有分布族都还在同一个族里。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“损失乘一个系数、取幂、取倒数或取指数以后，新的分布是什么？密度、矩和分位数怎么算？”