顺序统计量：最大、最小和第 k 小的损失 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每个损失的分布

尺度 θ

Cauchy 的尺度、逆高斯的形状也用 θ

0100,000 万

形状 τ

0.011,000

损失的个数 n

110 万

第 k 小

k = n 是最大值，k = 1 是最小值

110 万

看 P(X_(k) ≤ x) 的 x

范围 -100,000,000 万到 100,000,000 万

当前选项用不到的 8 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：威布尔分布（τ = 1.2, θ = 33.33）

输出

用时 857 毫秒 · 11/14 22:22 运行

单个损失 F(12): 0.254354
P(X_(3) ≤ 12): 0.487445
P(X_(3) > 12)（至多 2 个不超过 12）: 0.512555
X_(3) 在 12 的密度: 0.0653215
E[X_(3)]: 13.1375
X_(3) 的中位数: 12.1931
X_(3) 的 95% 分位数: 24.9675
最大值 P(X_(10) ≤ 12) = F^n: 0.00000113342
最小值 P(X_(1) ≤ 12) = 1 − S^n: 0.946872

第 3 个顺序统计量的密度

X_(3)
单个损失

纵轴：密度

用了 X_(k) 的分布等于 F(X_(k)) ~ Beta(k, n−k+1) 这个事实，和二项求和的结果相同。

顺序统计量的分位数quantiles6 行 · 2 列

结果表顺序统计量的分位数
概率	X_(3) 的分位数
0.05	4.5352
0.25	8.46423
0.5	12.1931
0.75	16.7899
0.95	24.9675
0.99	31.8257

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.2.2：威布尔 τ = 1.2、θ = 33.33，10 个损失里至多 2 个低于 12 的概率 = P(X_(3) > 12)
参数每个损失的分布威布尔分布 Weibull(τ, θ)第 k 小 3损失的个数 n 10形状 τ 1.2尺度 θ 33.33看 P(X_(k) ≤ x) 的 x 12其余用默认值
项标准答案这次算出
P(X_(3) > 12)（至多 2 个不超过 12）sf_k 0.51255483 0.51255483
说明：书里写 0.514（用了取整的 S(12) = 0.746）。按未取整的 S(12) = 0.745646 二项求和得 0.51255，用 scipy.stats.binom 独立复算相同。
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：均匀分布的第 k 个顺序统计量 ~ Beta(k, n−k+1)，均值 k/(n+1)
参数a 0b 1每个损失的分布均匀分布 U(a, b)第 k 小 2损失的个数 n 5看 P(X_(k) ≤ x) 的 x 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
P(X_(3) ≤ 12)cdf_k 0.8125 0.8125
E[X_(3)]mean_k 0.33333333 0.33333333
允许误差 1×10⁻⁹
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：4 个 Exp(100) 的最小值 ~ Exp(25)
参数每个损失的分布指数分布 Exp(θ)第 k 小 1损失的个数 n 4尺度 θ 100看 P(X_(k) ≤ x) 的 x 50其余用默认值
项标准答案平台算出
P(X_(3) ≤ 12)cdf_k 0.86466472 0.86466472
E[X_(3)]mean_k 25 25
允许误差 1×10⁻⁸

项	标准答案	这次算出
P(X_(3) > 12)（至多 2 个不超过 12）sf_k	0.51255483	0.51255483

项	标准答案	平台算出
P(X_(3) ≤ 12)cdf_k	0.8125	0.8125
E[X_(3)]mean_k	0.33333333	0.33333333

项	标准答案	平台算出
P(X_(3) ≤ 12)cdf_k	0.86466472	0.86466472
E[X_(3)]mean_k	25	25

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：14 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 20 行857 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import probability34result = probability.order_statistics(5    dist="weibull",6    theta=33.33,7    alpha=3,8    tau=1.2,9    gamma=2,10    mu=4,11    sigma=1,12    a=2,13    b=3,14    alpha1=2,15    alpha2=3,16    n=10,17    k=3,18    x=12,19)20print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）例 4.2.2
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 2 章

覆盖的考试公式

PRB-011顺序统计量MAS-I

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

第 k 个顺序统计量的分布函数、密度、均值和分位数；最大值和最小值是特例。

说明和限制

均值用 E[X_(k)] = ∫₀¹ Q(u) f_{Beta(k, n−k+1)}(u) du 数值积分。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“n 个独立同分布的损失里，第 k 小（例如最大、最小）的那个不超过 x 的概率、它的均值和分位数是多少？”