Copula 基础：Sklar 定理和常用 copula · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

copula

参数

ρ 或 α

-5050

u = F₁(x₁)

01

v = F₂(x₂)

01

边际分布

当前选项用不到的 5 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 848 毫秒 · 11/14 22:24 运行

C(0.5, 0.5): 0.375214
P(U > u, V > v): 0.375214
P(U ≤ u, V ≤ v): 0.375214
两个都超过的概率: 37.52%
独立时的 uv: 0.25
Kendall τ: 0.5
Spearman ρ_S: 0.682239
下尾相关 λ_L: 0
上尾相关 λ_U: 0.585786

对角线 C(t,t)：和独立、同单调比较

C(t,t)
同单调 t
独立 t²

纵轴：C(t,t)

对角线上的 copula 值和上下界diag13 行 · 4 列

结果表对角线上的 copula 值和上下界
t	C(t,t)	M = t	Π = t²
0.02	0.00395634	0.02	0.0004
0.1	0.0385289	0.1	0.01
0.18	0.0884701	0.18	0.0324
0.26	0.148815	0.26	0.0676
0.34	0.217476	0.34	0.1156
0.42	0.29322	0.42	0.1764
0.5	0.375214	0.5	0.25
0.58	0.462846	0.58	0.3364
0.66	0.555644	0.66	0.4356
0.74	0.653229	0.74	0.5476
0.82	0.755291	0.82	0.6724
0.9	0.861567	0.9	0.81
0.98	0.971833	0.98	0.9604

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

6 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：Clayton α = 2，C(0.5,0.5) = (4 + 4 − 1)^{−1/2}，τ = α/(α+2)，λ_L = 2^{−1/α}
参数copula Clayton（参数 α > 0）参数 2其余用默认值
项标准答案平台算出
C(0.5, 0.5)c 0.37796447 0.37796447
下尾相关 λ_Llambda_l 0.70710678 0.70710678
上尾相关 λ_Ulambda_u 0 0
Kendall τtau 0.5 0.5
允许误差 1×10⁻⁹
第 2 条
这次算出的数对得上
闭式公式：Gumbel α = 2，C(0.5,0.5) = exp(−√2 ln 2)，τ = 1 − 1/α，λ_U = 2 − 2^{1/α}
参数copula Gumbel（参数 α ≥ 1）参数 2其余用默认值
项标准答案这次算出
C(0.5, 0.5)c 0.37521423 0.37521423
上尾相关 λ_Ulambda_u 0.58578644 0.58578644
Kendall τtau 0.5 0.5
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式公式：Frank α = 5 的 C(0.5,0.5)；τ = 1 − 4/α (1 − D₁(α))，D₁ 用 scipy.integrate.quad 独立计算
参数copula Frank（参数 α ≠ 0）参数 5其余用默认值
项标准答案平台算出
C(0.5, 0.5)c 0.37714851 0.37714851
Kendall τtau 0.45670096 0.45670096
允许误差 1×10⁻⁸
第 4 条
平台算出的数对得上
闭式公式：高斯 ρ = 0.5，C(0.5,0.5) = 1/4 + arcsin ρ /(2π)，τ = (2/π) arcsin ρ，ρ_S = (6/π) arcsin(ρ/2)
参数copula 高斯 copula（参数 ρ）参数 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
C(0.5, 0.5)c 0.33333333 0.33333333
上尾相关 λ_Ulambda_u 0 0
Spearman ρ_Srho_s 0.48258374 0.48258374
Kendall τtau 0.33333333 0.33333333
允许误差 0.000001
第 5 条
平台算出的数对得上
闭式公式：t copula 的 λ = 2 t_{ν+1}(−√((ν+1)(1−ρ)/(1+ρ)))；C(0.5,0.5) 对椭圆分布也等于 1/4 + arcsin ρ/(2π)
参数t copula 的自由度 ν 4copula t copula（参数 ρ 和自由度 ν）参数 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
C(0.5, 0.5)c 0.33333333 0.33333073
上尾相关 λ_Ulambda_u 0.25317 0.25317
说明：C 用蒙特卡罗积分，误差放到 2e−4。
允许误差 0.0002
第 6 条
平台算出的数对得上
手算：独立时 F(x₁,x₂) = F₁(x₁)F₂(x₂)，两个都是 1 − e^{−1}
参数copula 独立 Π(u,v) = uv边际分布两个指数分布（给均值和 x）第 1 个风险的均值 1,000 元第 2 个风险的均值 500 元第 1 个风险的金额 x₁ 1,000 元第 2 个风险的金额 x₂ 500 元其余用默认值
项标准答案平台算出
P(U ≤ u, V ≤ v)joint 0.3995764 0.3995764
两个都超过的概率joint_sf 0.13533528 0.13533528
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
C(0.5, 0.5)c	0.37796447	0.37796447
下尾相关 λ_Llambda_l	0.70710678	0.70710678
上尾相关 λ_Ulambda_u	0	0
Kendall τtau	0.5	0.5

项	标准答案	这次算出
C(0.5, 0.5)c	0.37521423	0.37521423
上尾相关 λ_Ulambda_u	0.58578644	0.58578644
Kendall τtau	0.5	0.5

项	标准答案	平台算出
C(0.5, 0.5)c	0.37714851	0.37714851
Kendall τtau	0.45670096	0.45670096

项	标准答案	平台算出
C(0.5, 0.5)c	0.33333333	0.33333333
上尾相关 λ_Ulambda_u	0	0
Spearman ρ_Srho_s	0.48258374	0.48258374
Kendall τtau	0.33333333	0.33333333

项	标准答案	平台算出
C(0.5, 0.5)c	0.33333333	0.33333073
上尾相关 λ_Ulambda_u	0.25317	0.25317

项	标准答案	平台算出
P(U ≤ u, V ≤ v)joint	0.3995764	0.3995764
两个都超过的概率joint_sf	0.13533528	0.13533528

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：10 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 16 行848 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import copula_basics34result = copula_basics.copula_basics(5    family="gumbel",6    param=2,7    df=4,8    u=0.5,9    v=0.5,10    margins="none",11    mean1=1000,12    mean2=1000,13    x1=2000,14    x2=2000,15)16print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）第 14 章相依建模
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models附录 Copulas

覆盖的考试公式

PRB-012Sklar 定理与基本 copulaCS2
PRB-013阿基米德 copula（Gumbel、Clayton、Frank）CS2
PRB-014高斯与 t copulaCS2
PRB-015尾部相关系数CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

三个基本 copula、高斯、t、Clayton、Gumbel、Frank：C(u,v)、生存 copula、按 Sklar 定理和指数边际算联合概率，以及 τ、ρ_S、λ_L、λ_U。

说明和限制

t copula 的 C(u,v) 用 scipy 的蒙特卡罗积分（固定种子），精度约 1e−4；它的 Spearman ρ 没有闭式，不算。
Copula 的拟合和模拟在 copula 方法族。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个风险用某个 copula 连起来时，联合概率是多少？Kendall τ、Spearman ρ 和尾部相关系数各是多少？”