中心极限定理：正态、平移伽马和对数正态近似

很多独立损失加起来（或已知总损失的均值、方差、偏度）时，超过某个金额的概率和高分位数大约是多少？

SOA FAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 9 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

总损失的矩从哪来

损失的个数 n

1100 万

每个损失的伽马形状 α

0.011 万

每个损失的伽马尺度 θ

0100,000 万

看 P(S ≤ s) 的 s

范围 -100,000,000 万到 100,000,000 万

连续性修正（总损失只取整数时）

不修正s 加 0.5

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 824 毫秒 · 11/14 22:23 运行

总损失的均值: 100
总损失的标准差: 10
总损失的偏度: 0.2
正态近似 P(S ≤ 110): 0.841345

分布函数：精确和近似

精确
正态
平移伽马

纵轴：P(S ≤ s)

偏度越大，正态近似越低估高分位数。

几种近似的概率和分位数approx4 行 · 5 列

结果表几种近似的概率和分位数
方法	P(S ≤ 110)	95% 分位数	99% 分位数	99.5% 分位数
精确（伽马之和）	0.841721	116.997	124.723	127.632
正态近似	0.841345	116.449	123.263	125.758
平移伽马（α = 100, θ = 1, x₀ = 0）	0.841721	116.997	124.723	127.632
对数正态近似	0.842637	117.246	125.493	128.655

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

手算：100 个 Exp(1) 之和是 Gamma(100, 1)。正态近似 Φ(1)；偏度 0.2 的平移伽马近似是 α = 100、θ = 1、x₀ = 0，正好等于精确分布（scipy.stats.gamma 计算）

参数每个损失的伽马形状 α 1损失的个数 n 100看 P(S ≤ s) 的 s 110总损失的矩从哪来 n 个独立同分布的伽马损失之和（有精确值）每个损失的伽马尺度 θ 1其余用默认值

项	标准答案	这次算出
P(S ≤ 110)表 approx · method=exact	0.84172133	0.84172133
P(S ≤ 110)表 approx · method=normal	0.84134475	0.84134475
P(S ≤ 110)表 approx · method=tgamma	0.84172133	0.84172133

允许误差 1×10⁻⁹

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：平移伽马 α = 4/0.25 = 16，θ = 200·0.5/2 = 50，x₀ = 1000 − 2·200/0.5 = 200
参数总损失的均值 1,000看 P(S ≤ s) 的 s 1,300总损失的标准差 200总损失的偏度 0.5总损失的矩从哪来直接给均值、标准差、偏度其余用默认值
项标准答案平台算出
P(S ≤ 110)表 approx · method=normal 0.9331928 0.9331928
P(S ≤ 110)表 approx · method=tgamma 0.9231084 0.9231084
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
P(S ≤ 110)表 approx · method=normal	0.9331928	0.9331928
P(S ≤ 110)表 approx · method=tgamma	0.9231084	0.9231084

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行824 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import probability34result = probability.normal_approx(5    source="iid_gamma",6    n=100,7    alpha=1,8    theta=1,9    mean=100,10    sd=10,11    skew=0.2,12    s=110,13    continuity="none",14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）5.3 节
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models9.3 节 Approximations

覆盖的考试公式

PRB-009中心极限定理与正态近似FAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

用前两阶或前三阶矩近似总损失的分布：正态近似（可加连续性修正）、平移伽马近似、对数正态近似；n 个独立伽马之和时和精确值比较。

说明和限制

平移伽马近似要偏度大于 0。对数正态近似只用均值和方差，要求均值大于 0。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“很多独立损失加起来（或已知总损失的均值、方差、偏度）时，超过某个金额的概率和高分位数大约是多少？”