两个随机变量：协方差、相关系数、条件期望

已知两个随机变量的联合概率表，它们的协方差、相关系数、条件期望和条件方差是多少？全方差公式怎么分解？

SOA FAMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 1 条
覆盖的考试公式: 2 个
参数: 5 个
开源库: 1 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

X 的取值3 个数

最小 0最大 2均值 1

1–20 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

Y 的取值3 个数

最小 0最大 1,000均值 500

1–20 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

联合概率 P(X = x_i, Y = y_j)，按行（每个 x 一行）排9 个数

最小 0.02最大 0.3均值 0.1111

1–400 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

线性组合 aX + bY 的 a

范围 -100 万到 100 万

线性组合 aX + bY 的 b

范围 -100 万到 100 万

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的联合概率表计算

输出

用时 858 毫秒 · 缓存 · 11/14 22:24 运行

E[X]: 0.75
E[Y]: 415
Var(X): 0.5875
Var(Y): 16.03 万
Cov(X, Y): 143.75
相关系数 ρ: 0.468458
Var(1X + 1Y): 16.06 万
E[Var(Y|X)]: 12.48 万
Var(E[Y|X]): 3.55 万
全方差公式的差 Var(Y) − 两项之和: -2.91×10⁻¹¹

条件期望 E[Y | X = x]

纵轴：E[Y|X=x]

给定 X 时 Y 的条件期望和条件方差cond3 行 · 4 列

结果表给定 X 时 Y 的条件期望和条件方差
x	P(X = x)	E[Y \| X = x]	Var(Y \| X = x)
0	0.45	222.222	117,283.95
1	0.35	500	142,857.14
2	0.2	700	110,000

Y 的边际分布marg_y3 行 · 2 列

结果表 Y 的边际分布
y	P(Y = y)
0	0.42
500	0.33
1,000	0.25

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

1 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：E[X] = 0.5，E[Y] = 0.4，E[XY] = 0.3；E[Y|X=0] = 0.2，E[Y|X=1] = 0.6；E[Var(Y|X)] = 0.5·0.16 + 0.5·0.24

参数联合概率 P(X = x_i, Y = y_j)，按行（每个 x 一行）排 4 个数X 的取值 2 个数Y 的取值 2 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
Cov(X, Y)cov	0.1	0.1
E[Var(Y\|X)]e_var	0.2	0.2
相关系数 ρrho	0.40824829	0.40824829
Var(1X + 1Y)var_comb	0.69	0.69
Var(E[Y\|X])var_e	0.04	0.04
Var(Y)var_y	0.24	0.24
E[Y \| X = x]表 cond · 第 2 行	0.6	0.6

允许误差 1×10⁻⁹

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行858 毫秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import probability34result = probability.joint_moments(5    x_values=[0, 1, 2],6    y_values=[0, 500, 1000],7    probs=[0.3, 0.1, 0.05, 0.1, 0.15, 0.1, 0.02, 0.08, 0.1],8    a=1,9    b=1,10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 2–3 章
Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）附录统计基础

覆盖的考试公式

PRB-003期望、方差、协方差与相关系数FAMMAS-ICS1
PRB-004全期望与全方差公式FAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

输入联合概率表，算边际分布、均值、方差、协方差、相关系数、aX + bY 的方差、每个 x 下 Y 的条件期望和条件方差，并核对全期望和全方差公式。

说明和限制

概率的和要等于 1（误差 1e−6 以内）。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“已知两个随机变量的联合概率表，它们的协方差、相关系数、条件期望和条件方差是多少？全方差公式怎么分解？”