条件概率和贝叶斯定理

已知各类风险的比例和各类出险的概率，看到一次出险以后，这个保单属于各类的概率是多少？

SOA FAMIFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 6 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

各类的先验概率 P(A_j)3 个数

最小 0.1最大 0.6均值 0.3333

1–20 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

似然怎么给

P(B | A_j)3 个数

直接给时

最小 0.05最大 0.25均值 0.1333

1–20 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各类的期望损失3 个数

可选，用来算后验期望

最小 100最大 500均值 266.7

1–20 个数，每个在 -10,000 亿–10,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算

输出

用时 808 毫秒 · 11/14 22:25 运行

全概率 P(B): 8.5%
先验的期望损失: 170
后验的期望损失: 252.941

先验和后验

先验
后验

纵轴：概率

各类别的先验和后验概率post3 行 · 6 列

结果表各类别的先验和后验概率
类别	先验 P(A_j)	似然 P(B\|A_j)	P(B ∩ A_j)	后验 P(A_j\|B)	期望损失
1	0.6	0.05	0.03	0.352941	100
2	0.3	0.1	0.03	0.352941	200
3	0.1	0.25	0.025	0.294118	500

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

手算：P(B) = 0.6·0.05 + 0.3·0.1 + 0.1·0.25 = 0.085，后验 = 先验 × 似然 / P(B)

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
全概率 P(B)p_b	0.085	0.085
后验的期望损失post_mean	252.94118	252.94118
后验 P(A_j\|B)表 post · 第 1 行	0.35294118	0.35294118
后验 P(A_j\|B)表 post · 第 3 行	0.29411765	0.29411765

允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
平台算出的数对得上
手算：似然 e^{−λ}λ²/2，后验 = 0.5·2e^{−2} / (0.5·0.5e^{−1} + 0.5·2e^{−2})
参数看到的出险次数 k 2各类的泊松 λ_j 2 个数似然怎么给各类出险次数是泊松，看到 k 次各类的先验概率 P(A_j) 2 个数各类的期望损失 2 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
后验 P(A_j|B)表 post · 第 2 行 0.59539032 0.59539032
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
后验 P(A_j\|B)表 post · 第 2 行	0.59539032	0.59539032

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行808 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import probability34result = probability.bayes(5    prior=[0.6, 0.3, 0.1],6    likelihood_mode="direct",7    likelihood=[0.05, 0.1, 0.25],8    lams=[0.05, 0.1, 0.25],9    k=1,10    values=[100, 200, 500],11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）9.1 节贝叶斯推断

覆盖的考试公式

PRB-005条件概率与贝叶斯定理FAMCS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

先验概率乘似然，除以全概率，得到后验概率；可选给各类的期望损失，算后验的期望损失。似然可以直接给，也可以按泊松出险次数算。

说明和限制

先验概率会自动除以它们的和。各列的个数要相同。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“已知各类风险的比例和各类出险的概率，看到一次出险以后，这个保单属于各类的概率是多少？”