矩估计：用样本矩确定分布参数

已知一组损失（或它们的样本均值和二阶矩），用矩估计法，伽马、对数正态、Pareto 等分布的参数各是多少？

CAS MAS-IIFoA CS1IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 5 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输出

用时 903 毫秒 · 11/14 22:22 运行

样本一阶矩 m₁: 4.853 万
样本二阶矩 m₂: 54.79 亿
样本方差 m₂ − m₁²: 31.23 亿
变异系数: 1.15152

各分布的矩估计和分位数fits5 行 · 5 列

结果表各分布的矩估计和分位数
分布和矩估计的参数	均值	标准差	95% 分位数	99% 分位数
伽马分布（α = 0.754152, θ = 64354.9）	48,533.33	55,886.99	160,816.92	258,383.86
对数正态分布（μ = 10.3679, σ = 0.918775）	48,533.33	55,886.99	144,232.6	269,769.25
威布尔分布（τ = 0.871053, θ = 45277.3）	48,533.33	55,886.99	159,559.71	261,403.04
Pareto 分布（两参数，Lomax）（α = 8.1351, θ = 346290）	48,533.33	55,886.99	154,168.4	263,651.63
逆伽马分布（α = 2.75415, θ = 85134.8）	48,533.33	55,886.99	122,623.36	240,137.25

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02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.4.6：LGPIF 2010 年索赔（千元）m₁ = 26.62259，m₂ = 136154.6；伽马 α̂ = 0.005232809，θ̂ = 5087.628
参数要估计的分布伽马分布 Gamma(α, θ)、Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）数据形式直接给样本矩 m₁、m₂样本一阶原点矩 m₁ 26.6226样本二阶原点矩 m₂ 13.62 万其余用默认值
项标准答案平台算出
alpha表 fits · dist=gamma 0.0052328097 0.0052328097
theta表 fits · dist=gamma 5,087.6281 5,087.6281
alpha表 fits · dist=pareto 2.0105207 2.0105207
说明：书里 Pareto 的 α̂ = 2.005233 用了错的公式 1 + m₂/(m₂ − m₁²)。正确的公式 1 + m₂/(m₂ − 2m₁²) 给 2.010521（用 E[X²] = 2θ²/((α−1)(α−2)) 重新推导）。
允许误差 0 + 1×10⁻⁸×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 4.2.1：均值 40、方差 1800 的 Pareto，α = 18，θ = 680，95% 分位数 123.13
参数要估计的分布 Pareto 分布 Pareto(α, θ)（两参数，Lomax）数据形式直接给样本矩 m₁、m₂样本一阶原点矩 m₁ 40样本二阶原点矩 m₂ 3,400其余用默认值
项标准答案平台算出
alpha表 fits · dist=pareto 18 18
95% 分位数表 fits · dist=pareto 123.13464 123.13464
theta表 fits · dist=pareto 680 680
说明：书里取整后写 α = 18.02、θ = 680.72、95% 分位数 122.96。
允许误差 0.000001
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：均值 3，方差（除以 n）2；均匀分布 a = m − √(3·方差)
参数损失数据 5 个数要估计的分布正态分布 N(μ, σ)、均匀分布 U(a, b)数据形式一组损失其余用默认值
项标准答案平台算出
sigma表 fits · dist=normal 1.4142136 1.4142136
a表 fits · dist=uniform 0.55051026 0.55051026
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
alpha表 fits · dist=gamma	0.0052328097	0.0052328097
theta表 fits · dist=gamma	5,087.6281	5,087.6281
alpha表 fits · dist=pareto	2.0105207	2.0105207

项	标准答案	平台算出
alpha表 fits · dist=pareto	18	18
95% 分位数表 fits · dist=pareto	123.13464	123.13464
theta表 fits · dist=pareto	680	680

项	标准答案	平台算出
sigma表 fits · dist=normal	1.4142136	1.4142136
a表 fits · dist=uniform	0.55051026	0.55051026

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：5 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 11 行903 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import method_of_moments34result = method_of_moments.method_of_moments(5    input_mode="data",6    data=[200, 3000, 8000, 60000, 60000, 160000],7    m1=40,8    m2=3400,9    dists=["gamma", "lognormal", "weibull", "pareto", "inv_gamma"],10)11print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

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01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）4.4.2 节矩估计；例 4.4.6
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models13.1 节 Method of moments

覆盖的考试公式

PRB-017矩估计MAS-ICS1CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

令 E[X] = m₁、E[X²] = m₂，对多个两参数分布同时求参数，并给出拟合分布的 95%、99% 分位数，便于比较。

说明和限制

样本二阶矩按除以 n 计算。Pareto 要求 m₂ > 2m₁²（变异系数大于 1）。不能匹配的分布写在说明里。
最大似然估计见 estimation 方法族。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“已知一组损失（或它们的样本均值和二阶矩），用矩估计法，伽马、对数正态、Pareto 等分布的参数各是多少？”