二元正态：条件分布和联合概率

两个变量服从二元正态时，已知 X = x，Y 的条件均值、条件方差和条件概率是多少？两者同时不超过某值的概率呢？

IFoA CS1按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 7 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

X 的均值 μ_X

范围 -100,000 万到 100,000 万

Y 的均值 μ_Y

范围 -100,000 万到 100,000 万

X 的标准差 σ_X

0100,000 万

Y 的标准差 σ_Y

0100,000 万

输出

用时 820 毫秒 · 11/14 22:22 运行

E[Y | X = 1]: 0.5
Var(Y | X = 1): 0.75
条件标准差: 0.866025
P(Y ≤ 1 | X = 1): 0.718149
P(X ≤ 1, Y ≤ 1): 0.745204
Cov(X, Y): 0.5

条件均值和 95% 区间

E[Y|X=x]
上界
下界

纵轴：y

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
手算：μ = 0、σ = 1、ρ = 0.5、x = 1：条件均值 ρx = 0.5，条件方差 1 − ρ² = 0.75，P(Y ≤ 1 | X = 1) = Φ(0.5/√0.75)
参数：全部用默认值
项标准答案这次算出
E[Y | X = 1]cond_mean 0.5 0.5
P(Y ≤ 1 | X = 1)cond_prob 0.71814857 0.71814857
Var(Y | X = 1)cond_var 0.75 0.75
允许误差 1×10⁻⁹
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：P(X ≤ 0, Y ≤ 0) = 1/4 + arcsin(ρ)/(2π) = 1/3（ρ = 0.5）
参数条件 X = x 0Y 的界 y 0其余用默认值
项标准答案平台算出
P(X ≤ 1, Y ≤ 1)joint_prob 0.33333333 0.33333333
允许误差 0.000001

项	标准答案	这次算出
E[Y \| X = 1]cond_mean	0.5	0.5
P(Y ≤ 1 \| X = 1)cond_prob	0.71814857	0.71814857
Var(Y \| X = 1)cond_var	0.75	0.75

项	标准答案	平台算出
P(X ≤ 1, Y ≤ 1)joint_prob	0.33333333	0.33333333

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：7 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 13 行820 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.distributions import probability34result = probability.bivariate_normal(5    mu_x=0,6    mu_y=0,7    sigma_x=1,8    sigma_y=1,9    rho=0.5,10    x=1,11    y=1,12)13print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 2 章

覆盖的考试公式

PRB-010二元正态与条件分布CS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

Y | X = x 的条件均值和方差（回归直线），条件概率 P(Y ≤ y | X = x)，联合概率 P(X ≤ x, Y ≤ y)。

说明和限制

联合概率用 scipy.stats.multivariate_normal 的数值积分，精度约 1e−7。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

分布库，还有 9 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“两个变量服从二元正态时，已知 X = x，Y 的条件均值、条件方差和条件概率是多少？两者同时不超过某值的概率呢？”