泊松过程和复合泊松过程的模拟（稀疏法） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

强度 λ(t) = a + bt 的 a

齐次时就是 λ

0100 万

强度随时间的斜率 b

0 表示齐次

范围 -100 万到 100 万

时间长度 T

01 万

每次理赔的赔款分布

赔款分布第 1 个参数

范围 -100,000 万到 100,000,000 万

自己给的均匀随机数0 个数

齐次时生成到达时间，考试题常用

0–1,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

模拟的路径数

10020 万

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

用种子 20261113 模拟

输出

用时 884 毫秒 · 11/14 22:24 运行

Λ(T) = aT + bT²/2: 10.5
次数的模拟均值: 10.4943
次数的模拟方差: 10.3383
P(N = 0) 精确值: 0.0000275364
P(N = 0) 模拟值: 0
累计赔款的模拟均值: 1.053 万元
累计赔款的精确均值 Λ E[X]: 1.05 万元
累计赔款的模拟方差: 2,089 万
累计赔款的精确方差 Λ E[X²]: 2,100 万
累计赔款的 99% 分位数（模拟）: 2.331 万元

理赔次数：模拟和泊松分布

模拟频率
泊松概率

纵轴：概率

稀疏法：按 λ_max = 5 生成了 299422 个候选，保留 209885 个（70.1%）。

第 1 条路径的到达时间arrivals8 行 · 2 列

结果表第 1 条路径的到达时间
第 j 次	到达时间（第 1 条路径）
1	1.67865
2	2.19418
3	2.26352
4	2.48441
5	2.57646
6	2.62155
7	2.73296
8	2.88243

模拟的次数分布和泊松概率counts22 行 · 3 列

结果表模拟的次数分布和泊松概率
次数 k	模拟频率	泊松概率
2	0.0017	0.00151795
3	0.00555	0.00531281
4	0.01265	0.0139461
5	0.02905	0.0292869
6	0.0524	0.051252
7	0.074	0.0768781
8	0.10115	0.100902
9	0.1191	0.11772
10	0.12435	0.123606
11	0.11965	0.117987
12	0.1039	0.103239
13	0.0836	0.0833851
14	0.0641	0.0625388
15	0.04195	0.0437772
16	0.0282	0.0287288
17	0.01685	0.0177442
18	0.01035	0.0103508
19	0.00535	0.00572018
20	0.00345	0.0030031
21	0.00125	0.00150155
22	0.0007	0.000716648
23	0.00015	0.000327165

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

手算：λ = 2，间隔 −ln(1 − U)/λ = 0.3466、0.1438、0.8047，到达时间是累计和

参数强度随时间的斜率 b 0自己给的均匀随机数 3 个数其余用默认值

项	标准答案	平台算出
到达时间（第 1 条路径）表 arrivals · 第 1 行	0.34657359	0.34657359
到达时间（第 1 条路径）表 arrivals · 第 2 行	0.49041463	0.49041463
到达时间（第 1 条路径）表 arrivals · 第 3 行	1.2951336	1.2951336

允许误差 1×10⁻⁹

第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：Λ(3) = 1×3 + 2×9/2 = 12，N ~ Poisson(12)，P(N = 0) = e^{−12}；2 万条路径的均值相对标准误约 0.2%
参数时间长度 T 3强度 λ(t) = a + bt 的 a 1强度随时间的斜率 b 2每次理赔的赔款分布不模拟赔款金额其余用默认值
项标准答案平台算出
Λ(T) = aT + bT²/2Lambda 12 12
次数的模拟均值mean_count 12 11.98275
P(N = 0) 精确值p0_exact 6.14421e-6 6.14421e-6
允许误差 0 + 0.02×|答案|

项	标准答案	平台算出
Λ(T) = aT + bT²/2Lambda	12	12
次数的模拟均值mean_count	12	11.98275
P(N = 0) 精确值p0_exact	6.14421e-6	6.14421e-6

第 3 条

平台算出的数对得上

闭式解：复合泊松 E[S] = λT·E[X] = 5000，Var[S] = λT·E[X²] = 5 × 2 × 1000² = 10⁷

参数时间长度 T 1强度 λ(t) = a + bt 的 a 5强度随时间的斜率 b 0赔款分布第 1 个参数 1,000每次理赔的赔款分布指数分布 Exp(θ)其余用默认值

项	标准答案	平台算出
累计赔款的模拟均值mean_S	5,000	4,985.0462
累计赔款的精确均值 Λ E[X]mean_S_exact	5,000	5,000
累计赔款的模拟方差var_S	10,000,000	10,044,459
累计赔款的精确方差 Λ E[X²]var_S_exact	10,000,000	10,000,000

允许误差 0 + 0.03×|答案|

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行884 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import processes34result = processes.poisson_process(5    a=2,6    b=1,7    T=3,8    severity="exponential",9    s1=1000,10    s2=1000,11    u=[],12    n_paths=20000,13    seed=20261113,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models第 19 章 Simulation：模拟泊松过程和非齐次泊松过程

覆盖的考试公式

SIM-001逆变换法ASTAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

齐次泊松过程用指数间隔时间 T = −ln(1 − U)/λ 逐个生成；强度随时间线性变化 λ(t) = a + bt 时用稀疏法（先按最大强度生成，再以 λ(t)/λ_max 的概率保留）。每次理赔可以再抽一个赔款金额，得到复合泊松过程的累计赔款。给出次数的分布和泊松分布的对比、P(N = 0)、累计赔款的均值和方差，和理论值比较。

说明和限制

λ(t) 在 [0, T] 上要不小于 0。b 是负数时检查 a + bT ≥ 0。
给自己的均匀随机数时只算齐次过程的到达时间（用 a 做 λ），不做其他模拟。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“理赔按（可能随时间变化的）强度发生，一段时间内的理赔次数和累计赔款怎样模拟？模拟结果和理论值对得上吗？”