重要性抽样估计尾部概率 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

例子

损失分布（尾部概率时）

第 1 个参数

范围 -100,000 万到 100,000,000 万

第 2 个参数

0100,000,000 万

门槛 a元

0 元100,000,000,000 万元

建议分布的尺度放大倍数

0 表示自动：让建议分布的中位数等于 a

0100 万

模拟次数 R

10020 万

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 1 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

用种子 20261113 模拟

输出

用时 881 毫秒 · 11/14 22:22 运行

精确值: 0.000259537
重要性抽样估计: 0.000259081
重要性抽样的标准误: 0.00000229686
直接模拟估计: 0.00032
直接模拟的标准误（精确）: 0.0000720375
方差缩小的倍数: 983.663
建议分布的尺度放大倍数: 182.376
权重的有效样本量: 1.014 万

两种估计的收敛

重要性抽样
直接模拟
精确值

纵轴：P(X > a)

直接抽样和重要性抽样的比较compare2 行 · 5 列

结果表直接抽样和重要性抽样的比较
方法	估计	标准误	相对标准误	超过 a 的抽样数
直接模拟	0.00032	0.00007204	0.277561	16
重要性抽样（尺度放大 182.4 倍）	0.000259081	0.000002297	0.00884984	25,133

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.2.2：真值 0.14758；四种估计每次抽样的方差约 0.127、0.052、0.0285、9.5×10⁻⁵（书里是模拟值，取 2% 相对误差）

参数例子柯西分布 P(X > 2) 的四种估计（教材例题）其余用默认值

项	标准答案	平台算出
精确值exact	0.14758362	0.14758362
var_per_draw表 estimators · 第 2 行	0.052010885	0.052010885
var_per_draw表 estimators · 第 3 行	0.0285	0.028508785
var_per_draw表 estimators · 第 4 行	9.50000e-5	9.55253e-5

说明：第 1 种的精确方差是 p(1−p) = 0.1258，书里的 0.127 是 100 万次模拟的估计。书里第 4 种的被积函数排版有误，应是 dy/(π(1+y²))

允许误差 0 + 0.02×|答案|

第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：P(X > 2) = 1/2 − arctan(2)/π = 0.147584；第 1 种 5 万次模拟的标准误 0.0016，第 4 种 4×10⁻⁵
参数例子柯西分布 P(X > 2) 的四种估计（教材例题）其余用默认值
项标准答案平台算出
estimate表 estimators · 第 1 行 0.14758362 0.14534
estimate表 estimators · 第 4 行 0.14758362 0.14764241
允许误差 0.004
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式解：Exp(1) 的 P(X > 10) = e^{−10} = 4.540×10⁻⁵；建议分布 Exp(10) 时每次抽样的相对方差是 10e/1.9 − 1 = 13.3，5 万次的相对标准误 1.6%
参数门槛 a 10 元损失分布指数分布 Exp(θ)例子损失分布的尾部概率 P(X > a)：用放大尺度的同一分布做建议分布第 1 个参数 1建议分布的尺度放大倍数 10其余用默认值
项标准答案平台算出
精确值exact 4.53999e-5 4.53999e-5
重要性抽样估计is_estimate 4.53999e-5 4.49365e-5
允许误差 0 + 0.08×|答案|

项	标准答案	平台算出
estimate表 estimators · 第 1 行	0.14758362	0.14534
estimate表 estimators · 第 4 行	0.14758362	0.14764241

项	标准答案	平台算出
精确值exact	4.53999e-5	4.53999e-5
重要性抽样估计is_estimate	4.53999e-5	4.49365e-5

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行881 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import monte_carlo34result = monte_carlo.importance_sampling(5    mode="tail",6    dist="lognormal",7    p1=7,8    p2=1.5,9    p3=1000,10    a=200000,11    scale_factor=0,12    n_sim=50000,13    seed=20261113,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）8.2.1 例 8.2.2 Approximation Choices

覆盖的考试公式

SIM-004蒙特卡罗估计与所需模拟次数ASTAMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

从建议分布 g 抽样，用权重 f/g 修正：E_f[h(X)] = E_g[h(Y) f(Y)/g(Y)]。教材例题：柯西分布 P(X > 2) 的四种估计和各自的方差；损失分布的尾部概率：用尺度放大的同一分布做建议分布，和直接模拟比较方差、权重的有效样本量。

说明和限制

建议分布的尾要不比目标分布轻，否则权重 f/g 没有上界，方差可能是无穷大。尺度放大的同一分布满足这一点。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“大额损失的概率很小，直接模拟很少抽到。怎样少模拟也估得准？”