接受-拒绝法抽样（正态、伽马、贝塔） · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

目标分布和包络

自己给的成对均匀随机数 u₁, u₂, u₁, u₂, …0 个数

空时用种子

0–20,000 个数，每个在 0–1 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

尝试的次数

不给随机数时

1050 万

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

用种子 20261113 生成的均匀随机数

输出

用时 894 毫秒 · 11/14 22:23 运行

常数 c = max f/g: 1.31549
理论接受率 1/c: 0.760173
模拟的接受率: 0.7554
接受的个数: 1.511 万个
样本均值: -0.01712
理论均值: 0

接受的样本和目标密度

样本直方图（密度）
目标密度

纵轴：密度

尝试表只列前 100 次。

前几次的抽样和接受trials100 行 · 6 列

结果表前几次的抽样和接受
序号	u₁	u₂	Y = G⁻¹(u₁)	f(Y)/(c g(Y))	接受
1	0.184002	0.872424	1.69281	0.786634	否
2	0.837616	0.138838	0.177195	0.712836	是
3	0.210738	0.783441	1.55714	0.856243	是
4	0.173553	0.551161	1.75127	0.75412	是
5	0.546847	0.134706	0.603586	0.924435	是
6	0.710018	0.927694	0.342465	0.805593	否
7	0.495525	0.981913	0.702137	0.956608	否
8	0.0482653	0.653598	3.03104	0.127127	否
9	0.29226	0.285291	1.23011	0.973872	是
10	0.170675	0.67248	1.76799	0.744601	是
11	0.804027	0.765049	0.218123	0.736633	否
12	0.301781	0.00339749	1.19805	0.980579	是
13	0.0163388	0.501696	4.11421	0.00783495	否
14	0.790768	0.445428	0.234751	0.746169	是
15	0.761924	0.521775	0.271909	0.767161	是
16	0.466848	0.823584	0.761752	0.972018	是
17	0.779164	0.66944	0.249533	0.754575	是
18	0.988235	0.596123	0.0118352	0.613709	是
19	0.590384	0.915082	0.526982	0.894158	否
20	0.909428	0.0719722	0.0949397	0.663938	是
21	0.160224	0.849322	1.83118	0.707916	否
22	0.306609	0.987996	1.18218	0.983542	否
23	0.918336	0.754438	0.0851922	0.658075	否
24	0.179181	0.515334	1.71936	0.772025	是
25	0.185744	0.862652	1.68339	0.791751	否
26	0.538342	0.999447	0.61926	0.930083	否
27	0.683722	0.642077	0.380203	0.825246	是
28	0.831979	0.600101	0.183949	0.716792	是
29	0.787403	0.888036	0.239015	0.748601	否
30	0.652324	0.17728	0.427214	0.848706	是
31	0.413029	0.615655	0.884237	0.993322	是
32	0.441661	0.916537	0.817213	0.983433	是
33	0.815748	0.69618	0.20365	0.728268	是
34	0.122026	0.338641	2.10352	0.54396	是
35	0.844193	0.776154	0.169375	0.708242	否
36	0.274511	0.834134	1.29276	0.95805	是
37	0.0920068	0.173483	2.38589	0.382759	是
38	0.52128	0.780622	0.651467	0.94107	是
39	0.687753	0.232113	0.374326	0.822231	是
40	0.254103	0.8684	1.37001	0.933835	是
41	0.289385	0.481982	1.24	0.971611	是
42	0.862187	0.65066	0.148283	0.695788	是
43	0.490713	0.862217	0.711897	0.959348	是
44	0.530579	0.0794575	0.633786	0.935143	是
45	0.367666	0.208371	1.00058	1	是
46	0.986244	0.0923597	0.0138518	0.614932	是
47	0.51362	0.72177	0.666271	0.945835	是
48	0.65975	0.579213	0.415895	0.843168	是
49	0.51145	0.530527	0.670506	0.947164	是
50	0.25537	0.0432922	1.36504	0.935543	是
51	0.960821	0.292906	0.0399673	0.630759	是
52	0.445414	0.602859	0.808752	0.981878	是
53	0.0462655	0.184941	3.07336	0.116553	否
54	0.00360946	0.322736	5.6242	0.00002274	否
55	0.071727	0.572807	2.63489	0.262782	否
56	0.855369	0.447154	0.156222	0.700486	是
57	0.399282	0.483782	0.918086	0.996651	是
58	0.548649	0.599926	0.600297	0.923226	是
59	0.532376	0.676597	0.630406	0.93398	是
60	0.541386	0.581455	0.613623	0.928074	是
61	0.454191	0.637385	0.789238	0.978035	是
62	0.724645	0.991616	0.322073	0.794698	否
63	0.278386	0.716063	1.27875	0.961895	是
64	0.749735	0.447292	0.288035	0.776121	是
65	0.0379811	0.568715	3.27067	0.0759283	否
66	0.575449	0.47918	0.552605	0.904764	是
67	0.715721	0.237371	0.334464	0.801341	是
68	0.216001	0.505678	1.53247	0.867828	是
69	0.0145771	0.471458	4.2283	0.00545642	否
70	0.547267	0.465225	0.602819	0.924154	是
71	0.252238	0.72763	1.37738	0.931268	是
72	0.191281	0.828739	1.65401	0.807456	否
73	0.0438075	0.625046	3.12795	0.103925	否
74	0.30745	0.675906	1.17944	0.984029	是
75	0.51937	0.754501	0.655139	0.942269	是
76	0.794767	0.842817	0.229707	0.743285	否
77	0.75287	0.268982	0.283862	0.773812	是
78	0.184019	0.384416	1.69271	0.786686	是
79	0.46178	0.0654129	0.772667	0.974491	是
80	0.990711	0.573495	0.00933199	0.612191	是
81	0.358762	0.345276	1.0251	0.999685	是
82	0.391848	0.253058	0.936882	0.99801	是
83	0.0738122	0.889459	2.60623	0.275274	否
84	0.258822	0.0891259	1.35161	0.940056	是
85	0.814844	0.935068	0.204758	0.72891	否
86	0.339834	0.981902	1.0793	0.996861	是
87	0.228725	0.726899	1.47523	0.893219	是
88	0.117124	0.13899	2.14452	0.519461	是
89	0.28817	0.503196	1.24421	0.970622	是
90	0.0358871	0.568305	3.32738	0.0666473	否
91	0.69295	0.173061	0.366797	0.818343	是
92	0.0960662	0.975949	2.34272	0.405982	否
93	0.248296	0.410489	1.39313	0.925634	是
94	0.651541	0.863155	0.428416	0.84929	否
95	0.428409	0.4366	0.847678	0.988466	是
96	0.766875	0.597116	0.265432	0.763536	是
97	0.0598441	0.435075	2.81601	0.192252	否
98	0.894973	0.544156	0.110961	0.673549	是
99	0.693093	0.620828	0.366592	0.818237	是
100	0.586122	0.504675	0.534227	0.897204	是

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

5 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式解：2φ(x)/e^{−x} 在 x = 1 处最大，c = √(2e/π) = 1.3155，接受率 1/c = 0.7602
参数尝试的次数 20 万其余用默认值
项标准答案平台算出
理论接受率 1/caccept_theory 0.76017345 0.76017345
常数 c = max f/gc 1.3154892 1.3154892
允许误差 1×10⁻⁹
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：接受率 1/c = 0.7602；20 万次尝试的标准误约 0.001
参数尝试的次数 20 万其余用默认值
项标准答案平台算出
模拟的接受率accept_rate 0.76017345 0.760685
允许误差 0.004
第 3 条
平台算出的数对得上
手算：Gamma(2, 1) 的密度 x e^{−x}，包络均值 2 的指数 ½e^{−x/2}，比值 2x e^{−x/2} 在 x = 2 处最大，c = 4/e = 1.4715
参数伽马的 α 2目标分布和包络伽马 Gamma(α > 1, θ)（用均值 αθ 的指数分布做包络）伽马的 θ 1其余用默认值
项标准答案平台算出
常数 c = max f/gc 1.4715178 1.4715178
允许误差 1×10⁻⁹
第 4 条
平台算出的数对得上
手算：Beta(2, 2) 的密度 6x(1−x) 最大值 1.5
参数贝塔的 a 2贝塔的 b 2目标分布和包络贝塔 Beta(a ≥ 1, b ≥ 1)（用均匀分布做包络）其余用默认值
项标准答案平台算出
常数 c = max f/gc 1.5 1.5
允许误差 1×10⁻⁹
第 5 条
平台算出的数对得上
手算（SIM-002 的正态写法）：u₁ = 0.5 得 Y = ln 2 = 0.693，(Y−1)²/2 = 0.047 ≤ −ln 0.9 = 0.105，接受；u₁ = 0.1 得 Y = 2.303，(Y−1)²/2 = 0.849 > −ln 0.5 = 0.693，拒绝
参数自己给的成对均匀随机数 u₁, u₂, u₁, u₂, … 4 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
接受表 trials · 第 1 行是是
Y = G⁻¹(u₁)表 trials · 第 1 行 0.69314718 0.69314718
接受表 trials · 第 2 行否否
允许误差 1×10⁻⁹

项	标准答案	平台算出
理论接受率 1/caccept_theory	0.76017345	0.76017345
常数 c = max f/gc	1.3154892	1.3154892

项	标准答案	平台算出
模拟的接受率accept_rate	0.76017345	0.760685

项	标准答案	平台算出
常数 c = max f/gc	1.4715178	1.4715178

项	标准答案	平台算出
常数 c = max f/gc	1.5	1.5

项	标准答案	平台算出
接受表 trials · 第 1 行	是	是
Y = G⁻¹(u₁)表 trials · 第 1 行	0.69314718	0.69314718
接受表 trials · 第 2 行	否	否

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行894 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import generators34result = generators.accept_reject(5    target="normal_exp",6    alpha=2,7    theta=1,8    a=2,9    b=2,10    u_pairs=[],11    n=20000,12    seed=20261113,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）8.1 Random Number Generation（接受-拒绝法）

覆盖的考试公式

SIM-002接受-拒绝法（含 Gamma 与正态的指数包络）MAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

选一个容易抽样的包络分布 g，常数 c = max f/g；抽 Y ~ g 和 U，U ≤ f(Y)/(c g(Y)) 时接受。给出 c、理论接受率 1/c、模拟的接受率、接受的样本和目标密度的对比。可以给自己的成对均匀随机数（考试题常用）。

说明和限制

正态的情形先抽 |Z|：f(x) = 2φ(x)（x > 0），包络 g(x) = e^{−x}，c = √(2e/π)。正负号另外用一个均匀随机数定（种子生成时）；给自己的随机数时只输出 |Z|。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“分布函数不好求逆时，怎样用一个好抽的分布做包络来抽样？平均要抽几次才接受一个？”