自助法：偏差、标准误和置信区间（百分位、BCa）

一个统计量（均值、分位数、损失消除率……）的估计有多可靠？不假设正态，它的置信区间是多少？

SOA ASTAMSOA SRMCAS MAS-IIFoA CS1按输入的参数计算

公式

\displaystyle \widehat{\mathrm{bias}}=\bar\theta^*-\hat\theta

\displaystyle \widehat{\mathrm{SE}}=\sqrt{\frac1{B-1}\sum_{b=1}^B(\hat\theta^*_b-\bar\theta^*)^2}

\displaystyle \text{百分位}:(q^*_{\alpha/2},q^*_{1-\alpha/2}),\ \text{基本}:(2\hat\theta-q^*_{1-\alpha/2},2\hat\theta-q^*_{\alpha/2})

\displaystyle \text{BCa}:\ \alpha_{1,2}=\Phi\Big(\hat z_0+\frac{\hat z_0+z_{\alpha}}{1-\hat a(\hat z_0+z_{\alpha})}\Big)

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 9 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

样本20 个数

最小 1.44最大 5.22均值 2.952

3–20,000 个数，每个在 -10,000,000 亿–10,000,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

统计量

自助法

非参数（有放回重抽样）参数（从拟合的分布抽样）

自助样本个数 B

1005 万

置信水平

0.50.999

随机种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.3.2、8.4.2 的 20 个虚构观测

输出

用时 820 毫秒 · 11/14 22:26 运行

统计量（均值）: 2.9515
自助法的偏差: 0.0039481
自助法的标准误: 0.200796
偏差修正后的估计 θ̂ − bias: 2.94755
BCa 的 z₀: -0.0112801
BCa 的加速常数 â: 0.024328
样本个数: 20个
有效的自助样本个数: 5,000个

自助统计量的分布

纵轴：个数

各方法的置信区间intervals4 行 · 3 列

结果表各方法的置信区间
0.95 区间	下限	上限
百分位	2.57396	3.35951
基本（反转百分位）	2.54349	3.32904
正态近似（偏差修正）	2.554	3.34111
BCa（偏差修正和加速）	2.58219	3.37862

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式解：非参数自助法下样本均值的标准误（B → ∞）是 √(Σ(xᵢ − x̄)²)/n；数据是 Loss Data Analytics 第 2 版例 8.3.2 的 20 个观测
参数自助样本个数 B 2 万其余用默认值
项标准答案平台算出
自助法的标准误se 0.20067545 0.20021202
允许误差 0 + 0.02×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：指数分布的参数自助法下 x̄* ~ Gamma(n, x̄/n)；n = 5、x̄ = 400 时百分位区间是 Gamma(5, 80) 的 2.5%、97.5% 分位数 129.88、819.33（卡方分布表：χ²₁₀ 的 3.247、20.483 乘 40）
参数自助样本个数 B 2 万参数自助法的分布指数分布 Exp(θ)自助法参数（从拟合的分布抽样）样本 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
下限表 intervals · 第 1 行 129.87891 130.94194
上限表 intervals · 第 1 行 819.32709 817.33971
允许误差 0 + 0.03×|答案|
第 3 条
平台算出的数对得上
闭式解：非参数自助法下插入方差的偏差（B → ∞）是 −σ̂²/n
参数自助样本个数 B 2 万统计量方差（除以 n，插入估计）其余用默认值
项标准答案平台算出
自助法的偏差bias -0.040270638 -0.039953649
允许误差 0 + 0.1×|答案|

项	标准答案	平台算出
自助法的标准误se	0.20067545	0.20021202

项	标准答案	平台算出
下限表 intervals · 第 1 行	129.87891	130.94194
上限表 intervals · 第 1 行	819.32709	817.33971

项	标准答案	平台算出
自助法的偏差bias	-0.040270638	-0.039953649

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：9 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 15 行820 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import resampling34result = resampling.bootstrap(5    x=[2.46, 2.8, 3.28, 3.86, 2.85, 3.67, 3.37, 3.4, 5.22, 2.55, 2.79, 4.5, 3.37, 2.88, 1.44, 2.56, 2, 2.07, 2.19, 1.77],6    statistic="mean",7    p=0.95,8    d=3,9    kind="nonparametric",10    dist="gamma",11    B=5000,12    conf=0.95,13    seed=20261113,14)15print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）8.3 Bootstrapping and Resampling

覆盖的考试公式

EST-029Bootstrap 标准误与置信区间ASTAMSRMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

非参数自助法从样本有放回地重抽样；参数自助法从拟合的分布（最大似然）抽样。给出统计量、自助法的偏差和标准误、偏差修正后的估计，以及百分位、基本、正态近似、BCa 四种区间和自助分布的直方图。

说明和限制

BCa 区间的加速常数 â 用刀切法算（只在非参数自助法时给出）。
参数自助法只拟合一次分布，再从拟合的分布抽 B 个样本计算同一个统计量。

数据

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.3.2、8.4.2 的 20 个虚构观测，或调用时传入的数据

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“一个统计量（均值、分位数、损失消除率……）的估计有多可靠？不假设正态，它的置信区间是多少？”