刀切法：偏差、标准误和伪值 · 精算算法

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

样本20 个数

最小 1.44最大 5.22均值 2.952

3–5,000 个数，每个在 -10,000,000 亿–10,000,000 亿之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

统计量

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.3.2、8.4.2 的 20 个虚构观测

输出

用时 198 毫秒 · 11/14 22:25 运行

统计量（变异系数 s/x̄）: 0.311964
刀切法的偏差: -0.00626662
刀切法的标准误: 0.0549335
偏差修正后的估计: 0.318231
复制值的标准差（除以 n − 1，R 的 sd()）: 0.01293
影响最大的观测（序号）: 9
样本个数: 20个

去掉每个观测后的统计量

θ̂₍ᵢ₎
全样本

纵轴：变异系数 s/x̄

复制值的标准差不是刀切法标准误：标准误还要乘 (n−1)/√n。

去掉一个观测的估计和伪值replicates20 行 · 4 列

结果表去掉一个观测的估计和伪值
去掉的观测序号	去掉的观测	θ̂₍ᵢ₎	伪值
1	2.46	0.31521	0.25029
2	2.8	0.319409	0.170506
3	3.28	0.321262	0.135295
4	3.86	0.316883	0.218506
5	2.85	0.319826	0.162591
6	3.67	0.319149	0.17545
7	3.37	0.321069	0.138966
8	3.4	0.320966	0.140925
9	5.22	0.272126	1.06889
10	2.55	0.316554	0.224763
11	2.79	0.31932	0.172206
12	4.5	0.302691	0.488162
13	3.37	0.321069	0.138966
14	2.88	0.320051	0.158312
15	1.44	0.287862	0.769908
16	2.56	0.316693	0.222123
17	2	0.3057	0.430981
18	2.07	0.307437	0.397987
19	2.19	0.310169	0.346063
20	1.77	0.29924	0.553726

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 1 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式解：样本均值的刀切法标准误正好是 s/√n，偏差是 0
参数统计量均值样本 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
刀切法的偏差bias 0 0
刀切法的标准误se 158.11388 158.11388
允许误差 1×10⁻⁹ + 1×10⁻⁹×|答案|
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式解：除以 n 的样本方差经刀切法偏差修正后正好是除以 n − 1 的 s²
参数统计量方差（除以 n，插入估计）样本 5 个数其余用默认值
项标准答案平台算出
偏差修正后的估计corrected 125,000 125,000
允许误差 0.000001

项	标准答案	平台算出
刀切法的偏差bias	0	0
刀切法的标准误se	158.11388	158.11388

项	标准答案	平台算出
偏差修正后的估计corrected	125,000	125,000

第 3 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.4.2 的 20 个观测和变异系数；用 Python statistics 模块按书里的 R 代码独立重算

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
刀切法的偏差bias	-0.0062666202	-0.0062666202
统计量（变异系数 s/x̄）estimate	0.31196413	0.31196413
复制值的标准差（除以 n − 1，R 的 sd()）sd_replicates	0.012930006	0.012930006
刀切法的标准误se	0.054933507	0.054933507

说明：书里把 R 的 sd(JackTheta)（除以 n − 1 的复制值标准差）当作刀切法标准差。刀切法标准误的定义是 √((n−1)/n Σ(θ̂₍ᵢ₎ − θ̄)²) = sd × (n−1)/√n，大约是书里数值的 4.25 倍。两个都列出

允许误差 1×10⁻⁹

上面这次运行用的就是这道题的参数

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：4 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 10 行198 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.simulation import resampling34result = resampling.jackknife(5    x=[2.46, 2.8, 3.28, 3.86, 2.85, 3.67, 3.37, 3.4, 5.22, 2.55, 2.79, 4.5, 3.37, 2.88, 1.44, 2.56, 2, 2.07, 2.19, 1.77],6    statistic="cv",7    p=0.95,8    d=3,9)10print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）8.4.1 例 8.4.2 Coefficient of Variation

覆盖的考试公式

EST-029Bootstrap 标准误与置信区间ASTAMSRMMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

对 n 个去掉一个观测的样本分别算统计量，给出刀切法的偏差、标准误、偏差修正后的估计、伪值，以及影响最大的观测。

说明和限制

中位数、分位数这类不光滑的统计量，刀切法的标准误不可靠，用自助法。

数据

Loss Data Analytics 第 2 版例 8.3.2、8.4.2 的 20 个虚构观测，或调用时传入的数据

开源库和版本

numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

模拟与重抽样，还有 8 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“每次去掉一个观测重算统计量，能看出估计的偏差和波动有多大吗？”